Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文27 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/27 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22090333）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文27】「曲率を測った」は、どの多様体の話か

@misc{yamagishi2026yoi27,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“We Measured the Curvature”: of Which Manifold?},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/27},
  doi = {10.5281/zenodo.22090333},
  note = {Preprint, edition 1}
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日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ガウスが測地測量で三角形の内角の和を測り、空間が平坦かどうかを試したのだ。という語りが広く流通している。本稿は歴史上の意図を判定しない。判定するのは数である。新しい数学も物理も主張しない。

第一に、厳密な言明はガウス＝ボンネである。測地線三角形について内角の和から $\pi$ を引いたものは、$K$ の面積分に等しい。単位球の八分の一で両辺が $\pi/2$ で一致する（本稿で確認）（第2節）。

第二に、その三角形は確かに曲率を測っている。三辺を $69,85,107$ km とするとヘロンの公式で面積は $2929.43$ km$^2$、地球半径 $6371$ km に対する球面過剰は $14.8865$ 秒角である（本稿で計算）。十九世紀の器械で十分に見える量である（第3節）。

第三に、ブレーキ。それは地表の曲率であって、空間の曲率ではない。地球まわりの空間切断の曲率は $|K|\sim (GM/c^2)/r^3=1.71503\times10^{-23}$ m$^{-2}$、同じ三角形での角欠損は $1.03628\times10^{-8}$ 秒角にすぎない。二つは九桁違う（本稿で計算）（第4節）。

第四に、宇宙論的曲率ならさらに三十一桁下である（$6.042\times10^{-40}$ 秒角）。そして仮に完璧な零結果を $0.01$ 秒角で得たとしても、それが与える曲率半径の下限は地球半径の $38.58$ 倍でしかない。空間の幾何の検査としては、この三角形は小さすぎる（第5節）。

第五に、最も鋭い柵は精度ですらない。測量の水平角は手続きの一部として基準面へ帰化される。したがって測られている対象は、空間についての問いが立つより前に、構成上すでに「その面の上の三角形」である（第6節）。

分離子は「どの多様体に三角形が載っているか」である（第7節）。

Abstract

A story is widely repeated: that Gauss, in his geodetic survey, measured the angles of a triangle to test whether space is flat. This paper passes no judgement on historical intent. It judges numbers. NO NEW MATHEMATICS AND NO NEW PHYSICS IS CLAIMED.

First, the exact statement is Gauss–Bonnet. For a geodesic triangle, the angle sum minus $\pi$ equals the integral of $K$ over the area. On an octant of the unit sphere both sides come to $\pi/2$ (checked here) (Section 2).

Second, the triangle does measure a curvature. With sides $69,85,107$ km, Heron’s formula gives an area of $2929.43$ km$^2$, and against an earth radius of $6371$ km the spherical excess is $14.8865$ arcseconds (computed here). That is comfortably visible to a nineteenth-century instrument (Section 3).

Third, the brake. That is the curvature of the surface, not of space. The spatial slice around the earth has $|K|\sim (GM/c^2)/r^3=1.71503\times10^{-23}$ m$^{-2}$, giving over the same triangle a defect of only $1.03628\times10^{-8}$ arcseconds. The two differ by nine orders of magnitude (computed here) (Section 4).

Fourth, the cosmological curvature is thirty-one orders below that again ($6.042\times10^{-40}$ arcseconds). And a perfect null result at $0.01$ arcseconds would bound the radius of curvature only above $38.58$ earth radii、as a test of the geometry of space the triangle is far too small (Section 5).

Fifth, the sharpest fence is not precision at all. A survey’s horizontal angles are reduced to the reference surface as part of the procedure. So the object being measured is, by construction, a triangle on that surface, before any question about space is even asked (Section 6).

The separator is which manifold the triangle lies in (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/27/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/27 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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