Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文152 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/152 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22084202）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文152】同じ指標表を持ちながら、同型でない

@misc{yamagishi2026yoi152,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same Character Table, and Still Not Isomorphic},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/152},
  doi = {10.5281/zenodo.22084202},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系は「同じ」という語を何度も使ってきた。同根（論文142）、同じ $H^2$（論文147）、同じ被覆（論文151）。本稿はその語に四つの強さがあることを示し、いずれにも属さない例を一つ置く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、指標表が完全に一致しながら同型でない二つの群がある。$D_4$ と $Q_8$ はどちらも位数 $8$、共役類は五つで大きさは $1,1,2,2,2$、既約指標は一次元四つと二次元一つ、二次元指標の値は $2,-2,0,0,0$ で完全に一致する。それでも$D_4$ の位数 $2$ の元は五個、$Q_8$ は一個であり、同型ではない（本稿ですべて計算）（第3節）。

第二に、分離子はフロベニウス＝シュア指標である。$\nu_2(\chi)=\frac{1}{|G|}\sum_g\chi(g^2)$ は$D_4$ で $+1$、$Q_8$ で $-1$ を返す。指標表が見られない差を、この一つの数が見る（第4節）。

第三に、その帰結として $Q_8$ の二次元表現に実形は無い。実の $2\times2$ で $A^2=B^2=-I$ を満たす対を40万組取ると $|\mathrm{tr}(AB)|$ の最小は 2.000003（理論下界 $2$）であり、$AB=-BA$ に必要な $0$ には決して届かない。複素では $\mathrm{tr}(ij)=0$ で届く（第5節）。

第四に、同値は同型ではない。$\mathbb{Z}$ と $M_2(\mathbb{Z})$ は同型でない（一方は可換、他方は非零冪零元をもつ）が加群圏は同値である。中心は保たれ、可換性は保たれない。だから可換環では森田同値は同型に潰れる（第6節）。

Abstract

The corpus has used the word “same” many times、the same root (Paper 142), the same $H^2$ (Paper 147), the same cover (Paper 151). This paper shows that the word has four strengths, and places one example below all of them. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, two groups can have identical character tables and fail to be isomorphic. $D_4$ and $Q_8$ both have order $8$, five conjugacy classes of sizes $1,1,2,2,2$, four linear irreducibles and one of dimension two whose character is $2,-2,0,0,0$、the tables coincide exactly. Yet $D_4$ has five elements of order two and $Q_8$ has one, so they are not isomorphic (all computed here) (Section 3).

Second, the separator is the Frobenius–Schur indicator. $\nu_2(\chi)=\frac{1}{|G|}\sum_g\chi(g^2)$ returns $+1$ for $D_4$ and $-1$ for $Q_8$、one number sees what the character table cannot (Section 4).

Third, as a consequence $Q_8$’s two-dimensional irreducible has no real form. Over 400{,}000 random real pairs with $A^2=B^2=-I$ the minimum of $|\mathrm{tr}(AB)|$ is 2.000003 (the exact bound being $2$), and it never reaches the $0$ that $AB=-BA$ requires. Over the complex numbers it does: $\mathrm{tr}(ij)=0$ (Section 5).

Fourth, equivalence is not isomorphism. $\mathbb{Z}$ and $M_2(\mathbb{Z})$ are not isomorphic (one is commutative, the other has a non-zero nilpotent) yet their module categories are equivalent. The centre survives and commutativity does not、so for commutative rings Morita equivalence collapses to isomorphism (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/152/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/152 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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