Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文153 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/153 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22084355）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文153】何を忘れたかは、写像を数えれば分かる

@misc{yamagishi2026yoi153,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Was Forgotten Can Be Read Off by Counting Maps},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/153},
  doi = {10.5281/zenodo.22084355},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系は何度も「落とす」ことをしてきた。共形類は計量から密度を落とし（論文150）、指標表は平方写像を落とす（論文152）。本稿は「落とす」に三つの段があることを示し、どの段かを写像の個数で判定する。新しい数学定理は主張しない。

第一に、随伴とは数え上げである。自由群からの準同型は生成元の像の組にほかならないから、$|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(F(S),G)|=|G|^{|S|}=|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}}(S,U(G))|$ である（$G$ が $\mathbb{Z}/6$、$S_3$、$D_4$、$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ の場合に確認）（第2節）。

第二に、忘却には三段ある。性質を忘れる（充満忠実）・構造を忘れる（忠実だが充満でない）・ものを忘れる（忠実でない）。$\mathbb{Z}/3$ から $\mathbb{Z}/3$ への準同型は $3$ 本、写像は $27$ 本、忠実だが充満でない。そして $\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ が届かない位数 $8$ の群は、ちょうど $D_4$ と $Q_8$ である（論文152 の二つ）（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。右随伴が無いことは、余積を数えれば見える。$\mathbb{Z}/3$ の $\mathrm{Ab}$ における余積は$9$ 元、下にある集合の直和は$6$ 元。$\mathbb{Z}/2$ の $\mathrm{Grp}$ における余積は無限二面体群で、直和は$4$ 元である。余積を保たないから、右随伴は存在しない（第4節）。

第四に、両方の随伴をもつ忘却関手もある。$\mathrm{Top}\to\mathrm{Set}$ は離散を左随伴、密着を右随伴にもつ（三点集合とシェルピンスキー空間で個数が一致することを確認）（第5節）。位相を忘れることは、群法則を忘れることより穏やかである。

第五に、自由に付け足したものは、忘れたものと釣り合わない。$\mathbb{Z}/2$ の下にある集合から自由群を作ると無限になる（長さ $3$ 以下の既約語だけで $53$ 個）。忘れて自由に建て直しても元には戻らない（第6節）。

Abstract

The corpus has dropped things many times、the conformal class drops a density from the metric (Paper 150), a character table drops the squaring map (Paper 152). This paper shows that dropping has three rungs, and decides which rung by counting maps. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, an adjunction is a count. A homomorphism out of a free group is nothing but a tuple of images of the generators, so $|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(F(S),G)|=|G|^{|S|}=|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}}(S,U(G))|$ (checked for $G=\mathbb{Z}/6$, $S_3$, $D_4$, $\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$) (Section 2).

Second, forgetting has three rungs: forgetting a property (fully faithful), forgetting structure (faithful but not full) and forgetting stuff (not faithful). There are $3$ homomorphisms from $\mathbb{Z}/3$ to itself and $27$ maps、faithful and not full. And the groups of order $8$ that $\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ cannot reach are exactly $D_4$ and $Q_8$, the pair of Paper 152 (Section 3).

Third, and this is the core. A missing right adjoint can be seen by counting a coproduct. The coproduct of $\mathbb{Z}/3$ with itself in $\mathrm{Ab}$ has $9$ elements while the disjoint union of the underlying sets has $6$; in $\mathrm{Grp}$ the coproduct of $\mathbb{Z}/2$ with itself is the infinite dihedral group against $4$. Coproducts are not preserved, so no right adjoint exists (Section 4).

Fourth, some forgetful functors have both adjoints. $\mathrm{Top}\to\mathrm{Set}$ has the discrete topology as a left adjoint and the indiscrete as a right one (the counts agree, checked on a three-point set and the Sierpinski space) (Section 5). Forgetting a topology is a gentler act than forgetting a group law.

Fifth, what is freely added does not balance what was forgotten. The free group on the underlying set of $\mathbb{Z}/2$ is infinite ($53$ reduced words of length at most $3$ alone). Forgetting and freely rebuilding does not return the object (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/153/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/153 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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