Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文155 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/155 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22084848）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文155】点がひとつも無い空間がある

@misc{yamagishi2026yoi155,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {There Are Spaces With No Points at All},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/155},
  doi = {10.5281/zenodo.22084848},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文148 は「点」に五つの別根を挙げ、分離子はどの試験対象から射を入れるかであると書いた。本稿は六つ目を置く。そしてその六つ目は、実例がひとつも無いことがありうる。新しい数学定理は主張しない。

第一に、開集合の代数は排中律を満たさない。シェルピンスキー空間で $U=\{1\}$ とすると $\lnot U=\varnothing$、$\lnot\lnot U=X$ であり$U$ に戻らない（本稿で計算）。実数直線でも $U=(0,1)\cup(1,2)$ に対し $\lnot\lnot U=(0,2)$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。点は開集合からは復元できない。二点の密着空間は点を $2$ 個もつが、その枠（開集合の代数）の点は $1$ 個しかない（枠から二元枠への準同型を全数列挙して確認）。三点で二点を貼り合わせた空間も $3$ に対し $2$ である（第3節）。

第三に、空間が素（sober）なら点は戻る。シェルピンスキー空間は $2$ に対し $2$、二点・三点の離散空間も一致する。分離子は「空間か局所体か」ではなく、素であるかどうかである（第4節）。

第四に、点がひとつも無い局所体がある。完備ブール代数の点は原子に対応する。単位区間の測度代数は無原子であり、二等分を続けると $1/2,1/4,\dots,1/1048576$ と正のまま小さくなって最小の非零元に達しない。したがって点はゼロ個である。それでも代数は非自明で、豊かな束と測度をもつ（第5節）。

第五に、「点」の六つ目の根が置かれる。局所体の点とは二元枠への枠準同型である。そして論文148 の五つと違い、これは存在しないことがありうる。空でない概型は必ず点をもつが、空でない局所体はもたないことがある（第6節）。

Abstract

Paper 148 listed five distinct roots for the word “point” and wrote that the separator is which test object one maps in from. This paper adds a sixth、and that sixth can have no instances at all. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the algebra of open sets does not satisfy excluded middle. In the Sierpinski space with $U=\{1\}$ one has $\lnot U=\varnothing$ and $\lnot\lnot U=X$, which is not $U$ (computed here). On the real line, $U=(0,1)\cup(1,2)$ gives $\lnot\lnot U=(0,2)$ (Section 2).

Second, and this is the core. Points cannot be recovered from the open sets. The two-point indiscrete space has $2$ points while its frame has $1$ (obtained by enumerating every frame homomorphism into the two-element frame). A three-point space with two points glued gives $2$ against $3$ (Section 3).

Third, if the space is sober the points come back. The Sierpinski space returns $2$ against $2$, and the discrete spaces agree as well. The separator is not “space or locale” but sobriety (Section 4).

Fourth, there are locales with no points at all. The points of a complete Boolean algebra correspond to its atoms. The measure algebra of the unit interval is atomless: bisecting gives $1/2$, $1/4$, and on to $1/1048576$, always positive, never reaching a least non-zero element. So the number of points is zero、and the algebra is still far from trivial, with a rich lattice and a measure on it (Section 5).

Fifth, a sixth root for the word “point” is thereby placed. A point of a locale is a frame homomorphism to the two-element frame. And unlike Paper 148’s five, this one can fail to exist、a non-empty scheme always has points, a non-empty locale need not (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/155/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/155 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ