Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文157 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/157 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22091931）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文157】二乗の点呼

@misc{yamagishi2026yoi157,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Census of the Twos},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/157},
  doi = {10.5281/zenodo.22091931},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

この体系は、あちこちで指数 $2$ に出会ってきた。個々の $2$ については書いてきたが、横断して点呼した稿がまだ無い。本稿はそれを、一つの試験、何を動かせばその $2$ が動くか、で行う。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、逆二乗の $2$ は $d-1$ である。$d$ 次元の球対称な調和関数を解くと、力の指数は $d=2,\dots,6$ でそれぞれ $1,2,3,4,5$ になる。次元を動かせば動く（第2節）。

第二に、ボルンの $2$ は次元では動かない。そして動かしているのはユニタリ性である。$\sum_i|\psi_i|^p$ がユニタリ変換で保存されるのは$p=2$ のときだけである。$p=1,1.5,2.5,3,4$ では変化が $0.18$ から $0.67$ に及ぶのに対し、$p=2$ では $8.882\times10^{-16}$（本稿で計算）。ヒルベルト空間の次元を $2,3,5,8,13$ と変えても $10^{-15}$ 台のまま動かない（第3節）。

第三に、伊藤の $2$ は道の粗さで動く。二次変分は $n^{1-2H}$ で振る舞うはずであり、実際に測った傾きは $H=0.2,0.35,0.5,0.65,0.8$ で $0.5965,\ 0.3028,\ 0.0046,\ -0.3081,\ -0.5917$、予測 $1-2H$ と $0.01$ 以内で一致した（本稿で計算）（第4節）。

第四に、これが本稿の新しい部分である。最小二乗の $2$ は、仮定した誤差則そのものである。$\sum|r_i|^p$ の最小化は密度 $\propto e^{-|r|^p}$ の最尤推定であり、勝つ指数は、データを生んだ法則の指数と一致する。ガウス誤差では $p=2$（$0.1565$ 対 $0.1983$）、ラプラス誤差では $p=1$（$0.1782$ 対 $0.2199$）、そしてコーシー誤差では $p=1$ が $0.2632$、$p=2$ は $128.3741$、約 $500$ 倍の差である（第5節）。

第五に、クリフォードの $2$ は動かせない。$v^2=Q(v)$ は代数の定義そのもので、動かすべき径数が存在しない（第6節）。

一つの問いに、三つの答えと、二つの「該当なし」がある（第7節）。

Abstract

This corpus has met the exponent $2$ in many places. Each has been written about separately, but no paper has yet called them all by name at once. This one does, using a single test: what must be moved for that $2$ to move? NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the $2$ of the inverse square is $d-1$. Solving for spherically symmetric harmonic functions in $d$ dimensions, the exponent of the force is $1,2,3,4,5$ at $d=2,\dots,6$. Move the dimension and it moves (Section 2).

Second, Born’s $2$ does not move with the dimension, and what fixes it is unitarity. The quantity $\sum_i|\psi_i|^p$ is preserved by a unitary only at $p=2$: at $p=1,1.5,2.5,3,4$ the change runs from $0.18$ to $0.67$, while at $p=2$ it is $8.882\times10^{-16}$ (computed here). Changing the dimension of the Hilbert space to $2,3,5,8,13$ leaves it at order $10^{-15}$ (Section 3).

Third, Itô’s $2$ moves with the roughness of the path. The quadratic variation should scale as $n^{1-2H}$, and the measured slopes at $H=0.2,0.35,0.5,0.65,0.8$ were $0.5965,\ 0.3028,\ 0.0046,\ -0.3081,\ -0.5917$、agreeing with $1-2H$ to within $0.01$ (computed here) (Section 4).

Fourth, and this is what is new here. The $2$ of least squares is the assumed error law itself. Minimising $\sum|r_i|^p$ is maximum likelihood for a density proportional to $e^{-|r|^p}$, and the exponent that wins matches the exponent of the law that generated the data: $p=2$ under Gaussian errors ($0.1565$ against $0.1983$), $p=1$ under Laplace errors ($0.1782$ against $0.2199$), and under Cauchy errors $p=1$ gives $0.2632$ while $p=2$ gives $128.3741$、a factor of about $500$ (Section 5).

Fifth, Clifford’s $2$ cannot be moved at all. The relation $v^2=Q(v)$ is the definition of the algebra, and there is no parameter to turn (Section 6).

One question, three answers, and three cases of “nothing at all” (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/157/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/157 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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