Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文159 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/159 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092229）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文159】「不適切」は一語ではない

@misc{yamagishi2026yoi159,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Ill Posed” Is Not One Word},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/159},
  doi = {10.5281/zenodo.22092229},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系は逆問題を四つ扱ってきた。GLM 散乱（論文89）、カルデロン／EIT（論文99）、コンヌの非可換幾何（論文102）、ウィーナー・フィルタ（論文106）。本稿は第五の族としてラドン変換を加え、そして四つを分けているものを特定する。新しい数学定理は主張しない。

第一に、ラドン作用素を自前で組み、既知の値と照合した。半径 $0.5$ の円板の弦長 $2\sqrt{R^2-s^2}$ と比べると、中心で $0.99782$ 対 $1.00000$、$s=-0.3428$ で $0.72358$ 対 $0.72790$、最悪差は円板の縁で $0.0360$（画素化による）（第2節）。

第二に、フィルタは化粧ではなく、逆変換そのものである。逆投影だけでは相対誤差 $0.6545$、ランプ・フィルタを通すと $0.1167$（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は特異値の落ち方である。$3216\times2304$ のラドン行列の特異値は冪則で落ち、$k=5$ から $1382$ の範囲で $\sigma_k\sim k^{-0.372}$ であった（本稿で計算）。対して逆熱方程式（カルデロン／EIT が属する族）の特異値は $e^{-k^2\tau}$ で落ちる。$k=30$ で両者は $7$ 桁違う（第4節）。

第四に、その差が実務で何を意味するかを測った。正弦図に相対雑音 $\eta$ を載せると、離散化の床（$0.1167$）と二乗で分離した雑音成分は $\eta$ にほぼ比例し、増幅率は $2.2$ 前後の有界な定数に落ち着いた（第5節）。

第五に、したがって「不適切問題」という一語が、少なくとも二つの別の状況を指している。一意性が言えるかどうかではなく、落ち方が冪則か指数かが、再構成が可能かどうかを決めている（第6節）。

Abstract

The corpus has treated four inverse problems、GLM scattering (Paper 89), Calderón/EIT (Paper 99), Connes’s noncommutative geometry (Paper 102) and the Wiener filter (Paper 106). This paper adds the Radon transform as a fifth, and identifies what separates them. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the Radon operator was built here and checked against known values. Against the chord $2\sqrt{R^2-s^2}$ of a disc of radius $0.5$: $0.99782$ against $1.00000$ at the centre, $0.72358$ against $0.72790$ at $s=-0.3428$, with a worst difference of $0.0360$ at the rim (pixelation) (Section 2).

Second, the filter is not cosmetic: it is the inversion. Back-projection alone gives a relative error of $0.6545$; with the ramp filter it is $0.1167$ (Section 3).

Third, and this is the core. The separator is how the singular values decay. The $3216\times2304$ Radon matrix has singular values falling as a power law, fitted as $\sigma_k\sim k^{-0.372}$ over $k=5$ to $1382$ (computed here). The backward heat operator（the class Calderón/EIT belongs to）instead decays as $e^{-k^2\tau}$. At $k=30$ the two differ by $7$ orders of magnitude (Section 4).

Fourth, what that costs was measured. Adding relative noise $\eta$ to the sinogram and separating the discretisation floor ($0.1167$) in quadrature, the noise part grows in proportion to $\eta$ with a bounded amplification of about $2.2$ (Section 5).

Fifth, so the single phrase “ill-posed problem” names at least two different situations. What decides whether a reconstruction is possible is not whether uniqueness holds but whether the decay is a power law or an exponential (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/159/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/159 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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