Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文168 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/168 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22093320）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文168】ルベーグが買ったのは、クラスの大きさではなく、極限で閉じることである

@misc{yamagishi2026yoi168,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Lebesgue Bought Was Not a Bigger Class but Closure under Limits},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/168},
  doi = {10.5281/zenodo.22093320},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「積分」という一語が、少なくとも五つの別のものを指している。本稿はそれを点呼し、ルベーグ積分の利点は「積分できる関数が増えること」ではないことを数で示す。新しい数学定理は主張しない。いずれも標準的な内容である。

第一に、リーマンで決めているのは不連続点の稠密さではなく測度である。トマエ関数はすべての有理数で不連続でありながらリーマン可積分（$q\le 1000$ の点 $304194$ 個を覆っても上積分の上界は $0.002$）、一方太いカントール集合は疎でありながら測度 $1/2$ を持ち、その指示関数は可積分でない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ルベーグは広義リーマンを含まない。$\sin x/x$ の積分は $1000\pi$ までで $1.57047801697$（$\pi/2=1.57079632679$）に落ち着くのに、$|\sin x|/x$ は十進ごとに $1.465870064$ ずつ増え続ける。予測値 $(2/\pi)\log 10=1.465871198$ と5桁一致。分離子は絶対収束である（第3節）。

第三に、そのどちらもゲージ積分を含まない。$F(x)=x^2\sin(1/x^2)$ は至るところ微分可能で、$F(1)-F(\varepsilon)$ は $0.8414709848079=\sin 1$ に収まるのに、変動は $k=10^5$ までで $7.94274870532$ と発散し続ける。分離子は微分積分学の基本定理である（第4節）。

第四に、では何を買ったのか。有理数を $n$ 個ずつ拾う指示関数はどれもリーマン可積分で、その極限だけがクラスの外に出る。ルベーグのクラスは漏れない。買ったのは大きさではなく閉じていることである（第5節）。

第五に、収束定理の仮定は飾りではない。$g_n=n\cdot\mathbf{1}_{(0,1/n)}$ は各点で $0$ に収束し、積分は常に $1$ である（第5節）。

Abstract

The single word “integral” names at least five different things. This paper calls them by name and shows in numbers that the advantage of the Lebesgue integral is not that more functions can be integrated. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED、all of this is standard.

First, what decides Riemann integrability is not the density of the discontinuities but their measure. Thomae’s function is discontinuous at every rational and is Riemann integrable (covering the $304194$ points with $q\le 1000$ still bounds the upper integral by $0.002$), while the fat Cantor set is nowhere dense, has measure $1/2$, and its indicator is not integrable (Section 2).

Second, and this is the core. Lebesgue does not contain improper Riemann. The integral of $\sin x/x$ settles at $1.57047801697$ by $1000\pi$ (against $\pi/2=1.57079632679$), while that of $|\sin x|/x$ keeps adding $1.465870064$ per decade、agreeing to five digits with the predicted $(2/\pi)\log 10=1.465871198$. The separator is absolute convergence (Section 3).

Third, neither of them contains the gauge integral. $F(x)=x^2\sin(1/x^2)$ is differentiable everywhere, and $F(1)-F(\varepsilon)$ settles at $0.8414709848079=\sin 1$, while the variation reaches $7.94274870532$ by $k=10^5$ and keeps growing. The separator is the fundamental theorem of calculus (Section 4).

Fourth, then what was bought? The indicators of the first $n$ rationals are each Riemann integrable and only their limit steps outside the class. Lebesgue’s class does not leak、what was bought is not size but closure (Section 5).

Fifth, the hypotheses of the convergence theorems are not decoration. $g_n=n\cdot\mathbf{1}_{(0,1/n)}$ tends to $0$ at every point and every integral is $1$ (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/168/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/168 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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