Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文188 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/188 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22105691）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文188】未知数より少ない測定で、厳密に決まる

@misc{yamagishi2026yoi188,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Fewer Measurements Than Unknowns, and Still Exact},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/188},
  doi = {10.5281/zenodo.22105691},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

未知数が $60$ 個あって式が $30$ 本なら、解は無限にある。ところが、そのうちの一つを機械精度で言い当てられる場合がある。本稿は、足りない情報をどこから持ってきているのかを分ける。新しい数学定理は主張しない。

第一に、系は本当に劣決定である。$8$ 本の式に $20$ 個の未知数では零空間が $12$ 次元あり、どの解も残差 $10^{-15}$ で式を満たす（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。どのノルムを最小化するかで答が変わる。測定が足りていれば、最小 $1$ ノルムは非ゼロ $3$ 個で誤差 $2.2\times10^{-16}$、最小 $2$ ノルムは非ゼロ $60$ 個で誤差 $0.940$、どちらも式は残差 $10^{-15}$ で満たしている（第3節）。

第三に、ノルムの選択は必要だが十分ではない。測定が足りない設定では、最小 $1$ ノルムも誤差 $0.837$ で外した（第3節）。

第四に、境目は狭い。$60$ 個の未知数を $20$ 本で測ると、非ゼロが $3$ 個までは $40$ 回中 $40$ 回、$7$ 個で $16$ 回、$13$ 個で $0$ 回、答は六桁一致か、外れるかのどちらかである（第4節）。

第五に、疎さだけでは足りない。同じ疎さ・同じ本数で、各測定が全未知数を混ぜれば $40$ 回中 $40$ 回、各測定が一つの座標を読むだけなら $7$ 回であった（第5節）。

Abstract

With sixty unknowns and thirty equations there are infinitely many solutions. And yet one of them can be named to machine precision. This paper separates where the missing information comes from. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the system really is underdetermined. Eight equations in twenty unknowns leave a null space of dimension twelve, and every solution along it satisfies the equations to $10^{-15}$ (Section 2).

Second, and this is the core. Which norm is minimised decides the answer. With enough measurements the minimum one-norm solution has three nonzeros and an error of $2.2\times10^{-16}$, while the minimum two-norm solution has sixty nonzeros and an error of $0.940$、both fitting the equations to $10^{-15}$ (Section 3).

Third,the choice of norm is necessary and not sufficient. With too few measurements the one-norm answer missed by $0.837$ as well (Section 3).

Fourth, the transition is narrow. Measuring sixty unknowns twenty times, three nonzeros were recovered in $40$ trials out of $40$, seven nonzeros in $16$, and thirteen in none、the answer is either right to six decimals or wrong (Section 4).

Fifth, sparsity alone is not enough. At the same sparsity and the same budget, measurements that mix every unknown recovered $40$ times out of $40$, and measurements that read one coordinate each recovered $7$ (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/188/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/188 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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