Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文215 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/215 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22119477）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文215】同じ列が、零へも無限へも行く

@misc{yamagishi2026yoi215,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One Sequence Goes Both to Zero and to Infinity},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/215},
  doi = {10.5281/zenodo.22119477},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「近づく」は、列だけの性質ではない。本稿は $\ell^1,\ell^2,\ell^\infty$ の三つのものさしを数で置き、有限次元では同値であることとその同値が保証する範囲が次元とともに壊れることを書く。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、三つのノルムの最良の定数は $\sqrt{n}$ と $n$ である。$n=10^6$ では $\|x\|_1$ と $\|x\|_\infty$ が百万倍違いうる。それでも「同値」である（第2・3節）。

第二に、その極端はどの向きにも無い。無作為な $20$ 万本のうち $\|x\|_1/\|x\|_2$ の最大は $n=1000$ で $26.21$ にとどまり、上限 $31.62$ には全座標が等しい一方向でしか届かなかった（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。$x_n=(1/n,\dots,1/n)$ は $\|x\|_1=1$ のまま動かないのに、$\|x\|_2=1/\sqrt n$ も $\|x\|_\infty=1/n$ も零へ行く。同じ列が、片方のものさしでは近づき、もう片方では一歩も動かない（第4節）。

第四に、関数ではもっと激しい。高さ $n^{1/4}$・幅 $1/n$ の尖りは、$\sup$ ノルムで $100$ へ登り、$L^2$ で $0.01$、$L^1$ で $10^{-6}$ へ落ちる。同じ列が、零へも無限へも行く（第5節）。

第五に、単位球の体積は $n=50$ で $\ell^1$ が $\ell^\infty$ の $\mathbf{3.04\times10^{64}}$ 分の $1$ であった（第7節）。

Abstract

“It approaches” is not a property of a sequence alone. This paper sets the three rulers $\ell^1,\ell^2,\ell^\infty$ down in numbers and writes both that they are equivalent in finite dimension and that what the equivalence guarantees decays with the dimension. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the best constants between the three norms are $\sqrt{n}$ and $n$. At $n=10^6$ the $\ell^1$ and $\ell^\infty$ norms may differ by a factor of a million、and they are still “equivalent” (Sections 2 and 3).

Second, that extreme lies in no ordinary direction. Among two hundred thousand random vectors the largest $\|x\|_1/\|x\|_2$ at $n=1000$ was only $26.21$ against the bound of $31.62$, which is reached only where every coordinate is equal (Section 2).

Third, this is the core. For $x_n=(1/n,\dots,1/n)$ the norm $\|x\|_1$ stays at $1$ and never moves, while $\|x\|_2=1/\sqrt n$ and $\|x\|_\infty=1/n$ both go to zero、one sequence that approaches under one ruler and does not stir under another (Section 4).

Fourth, with functions it is fiercer. A spike of height $n^{1/4}$ and width $1/n$ climbs to $100$ in the sup norm while falling to $0.01$ in $L^2$ and $10^{-6}$ in $L^1$、one sequence going both to zero and to infinity (Section 5).

Fifth, at $n=50$ the volume of the $\ell^1$ unit ball is $\mathbf{3.04\times10^{64}}$ times smaller than that of the $\ell^\infty$ ball (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/215/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/215 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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