Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文231 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/231 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22126935）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文231】「×」は、倍にするたびに一つ法則を失う

@misc{yamagishi2026yoi231,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Every Doubling Costs the Product One Law},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/231},
  doi = {10.5281/zenodo.22126935},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

掛け算に何を期待してよいかは、どこで掛けているかで変わる。本稿はどの法則が生き残るかを測り、次元を倍にするたびに一つずつ落ちていくことを示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、「同じ数を何回も足す」は定義ではない。$3\times2.5$ にその読み方は無い。それは一つの場合にだけ通じる絵である（第2節）。

第二に、外積は結合しない。$(a\times b)\times c$ と $a\times(b\times c)$ のずれは最大 $\mathbf{10.7208}$ であった。ただしヤコビ和は $3.553\times10^{-15}$であり、別の法則を守っている（第4節）。

第三に、これが本稿の芯である。次元 $1,2,4,8$ と倍にするたびに、ちょうど一つ法則が落ちる。順序、可換（ずれ $19.1$）、結合（ずれ $72.4$）（第5節）。

第四に、十六で割り算そのものが壊れる。$(e_1+e_{10})(e_4-e_{15})=\mathbf{0}$ であり、両方の大きさは $\sqrt2$ である。この形の零因子は336 組あり、八元数には一組も無い（第6節）。

第五に、確率の積は掛け算の性質ではない。同じコインを二度見れば $P(A)P(B)=0.25$ に対し $P(A\cap B)=0.5$ である。積の規則は世界についての仮説である（第7節）。

Abstract

What one may expect of a product depends on where one is multiplying. This paper measures which laws survive and shows that each doubling of the dimension costs exactly one. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, adding a number to itself several times is not a definition. There is no such reading of $3\times2.5$、it is a picture that works in one case only (Section 2).

Second, the cross product is not associative. The gap between $(a\times b)\times c$ and $a\times(b\times c)$ reached $\mathbf{10.7208}$、and yet the Jacobi sum was $3.553\times10^{-15}$: it keeps a different law (Section 4).

Third, this is the core. Doubling the dimension through $1,2,4,8$ costs exactly one law each time、ordering, then commutativity (gap $19.1$), then associativity (gap $72.4$) (Section 5).

Fourth, at sixteen division itself breaks. $(e_1+e_{10})(e_4-e_{15})=\mathbf{0}$ with both factors of length $\sqrt2$、there are 336 such pairs, and not one among the octonions (Section 6).

Fifth, the product rule for probabilities is not a property of multiplication. Looking at one coin twice gives $P(A)P(B)=0.25$ against $P(A\cap B)=0.5$、the rule is a hypothesis about the world (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/231/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/231 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ