Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文254 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/254 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22162025）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文254】「四次元では結び目がほどける」も、一つの現象ではない

@misc{yamagishi2026yoi254,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {That Knots Come Undone in Four Dimensions Is Not One Phenomenon},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/254},
  doi = {10.5281/zenodo.22162025},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

四次元では、どんな紐の結び目も必ずほどける。そして四次元では、面が結べる。本稿が問うのは、この二つが同じ根なのかである。答は、違う。二つの別の条件が、三次元の円ではたまたま重なっているだけであった。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、道具を自前で組んで既知の値と照合した。ガウスの絡み数を刻み $4000$ で数値積分すると、ホップ絡み目で $\mathbf{-1.000000}$、離れた二円で $\mathbf{0.000000}$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。一方の輪が張る円板を、他方が何回貫くかを数える。三次元では $\mathbf{1}$ 回。四次元に置いて第四の座標へ $\mathbf{10^{-9}}$ 動かすだけで $\mathbf{0}$ になる（第3節）。

第三に、その差は摂動に対して頑丈である。乱数で押してみると、三次元では $200$ 回すべてで $1$、四次元では $200$ 回すべてで $0$ であった（第4節）。

第四に、絡む条件は次元ではなく足し算である。$S^1$ と $S^2$ は四次元で $\mathbf{1}$ 回貫き、五次元へ出すと $\mathbf{0}$ になる。条件は $\mathbf{p+q=n-1}$ である（第5節）。

第五に、だが面は結べる。三葉結び目のアレクサンダー多項式を整数で評価すると $\mathbf{t^2-t+1}$ であり、恒等的に $1$ ではない。四次元の中の紡いだ三葉（$S^2$）も同じ多項式を持つ（第6節）。

第六に、二つの条件は別である。絡むのは $p+q=n-1$、結べるのは $n-k=2$、三次元の円ではどちらも $\mathbf{2}$ になる。だから一つの話に見えていた（第7・8節）。

Abstract

In four dimensions every knot in a string comes undone.And in four dimensions a surface can be knotted.This paper asks whether the two share a root、the answer is no: two separate conditions merely coincide for circles in three dimensions.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the instruments were built here and checked against known values.Integrating the Gauss linking number with $4000$ steps gives $\mathbf{-1.000000}$ for the Hopf link and $\mathbf{0.000000}$ for two separated circles (Section 2).

Second, this is the core.Count how often one loop pierces a disk spanned by the other.In three dimensions, $\mathbf{1}$. Placed in four and pushed by $\mathbf{10^{-9}}$ along the fourth coordinate, $\mathbf{0}$ (Section 3).

Third, the difference is robust.Under random pushes the count was $1$ in all $200$ trials in three dimensions and $0$ in all $200$ in four (Section 4).

Fourth, linking is a matter of addition, not of dimension.An $S^1$ pierces a ball spanned by an $S^2$ $\mathbf{1}$ time in four dimensions and $\mathbf{0}$ times in five、the condition is $\mathbf{p+q=n-1}$ (Section 5).

Fifth, and yet surfaces knot.Evaluating the Alexander polynomial of the trefoil at integers gives $\mathbf{t^2-t+1}$, which is not identically $1$、and the spun trefoil, an $S^2$ in four dimensions, carries the same polynomial (Section 6).

Sixth, the two conditions are different.Linking asks $p+q=n-1$ and knotting asks $n-k=2$、for circles in three dimensions both return $\mathbf{2}$, and that is why they looked like one (Sections 7 and 8).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/254/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/254 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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