Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文487 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/487 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22759965）。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月15日 19:05 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi487,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Stationary Point Comes in Three Kinds: Minimum, Maximum, and Everywhere Equal},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/487},
  doi = {10.5281/zenodo.22759965},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969418・969432・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 16:53（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

光は最短の道を通ると言われる。本稿が示すのは、停留点が最小・最大・縮退の三通りあり、三つとも光学の中で作れることである。楕円鏡では $24$ 点すべてが等しく、幅は $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$ である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平面鏡では停留点が $x=0.000000017$ に来て、経路長 $\mathbf{2.828427125}$ は両隣の $2.831969281$ より短い。最小である（第2節）。

第二に、そこで入射角と反射角が $45.000000$ 度 対 $45.000000$ 度で一致する（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。曲率の大きい鏡では、頂点の $\mathbf{3.572114220}$ が両隣の $3.571008542$ より長い。同じ停留条件が最大を与える（第3節）。

第四に、楕円の二焦点を結ぶ反射では、$24$ 点すべてで経路長が $\mathbf{4.000000000000}$ になる。幅は $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$ で、最小でも最大でもない（第3節）。

第五に、同じ停留条件から屈折のスネルの法則が出る。$n_{1}\sin\theta_{1}=0.806200914$ 対 $n_{2}\sin\theta_{2}=0.806200883$（第4節）。

第六に、分離子は「停留か、最小か」である（第4節）。

キーワード：フェルマーの原理、停留点、変分原理、光路長、極値

Abstract

Light is said to take the shortest path.This paper shows that a stationary point comes in three kinds（minimum, maximum and degenerate）and that all three can be built in optics、at an elliptical mirror all $24$ points agree to within $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$.No new theorem or law is claimed.

First, at a flat mirror the stationary point sits at $x=0.000000017$ and the path length $\mathbf{2.828427125}$ is shorter than both neighbours at $2.831969281$、a minimum (Section 2).

Second, the angles of incidence and reflection agree there, $45.000000$ degrees against $45.000000$ (Section 2).

Third, this is the core of the paper.At a strongly curved mirror the vertex value $\mathbf{3.572114220}$ exceeds both neighbours at $3.571008542$、the same stationarity gives a maximum (Section 3).

Fourth, reflecting between the foci of an ellipse, all $24$ sampled points give a path length of $\mathbf{4.000000000000}$、a spread of $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$, neither minimum nor maximum (Section 3).

Fifth, the same stationarity yields Snell’s law at refraction、$n_{1}\sin\theta_{1}=0.806200914$ against $n_{2}\sin\theta_{2}=0.806200883$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether stationarity or minimality is required (Section 4).

Keywords: Fermat’s principle, stationary point, variational principle, optical path length, extremum

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/487/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/487 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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