Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

確率分布のなす空間には計量が入る。時空にも計量が入る（論文108）。本稿は、この二つが同型でないことを二つの独立な理由で書き、そのうえで一意性がどこまで届くかを数える。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、同じ「計量」でも符号数が違い、曲率も違う。正規分布族のフィッシャー計量を本稿で計算すると $\mathrm{diag}(\sigma^{-2},\,2\sigma^{-2})$、固有値は二つとも正、符号数 $(2,0)$、正定値である。ガウス曲率は定数 $-1/2$。一方ミンコフスキー計量は符号数 $(1,3)$、不定符号で平坦である。違いは一つではなく二つある（第2節）。

第二に、「フィッシャー情報」という一語が、数とテンソルの二つを指している。母数を $\mu=a\nu$ と置き換えれば $g$ は $a^2$ 倍になる。数としては母数の取り方で動く。動かないのはテンソルとしての計量である（第3節）。

第三に、一意性がある。ただし条件つきである。チェンツォフの定理（1972）は、十分統計量のもとで不変なリーマン計量は、定数倍を除いてフィッシャー計量ただ一つであると述べる。「自然な計量がある」ではなく「ちょうど一つある」。これが本当の中身である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。その一意性は柵の内側にしかない。量子では単調計量が一族をなす（ペッツ 1996）。本稿では一量子ビットについてSLD情報とクボ＝モリ情報を数値計算し、非可換な族では $0.3600$ 対 $0.4159$ と食い違い、可換な族では $0.1670$ 対 $0.1670$ と完全に一致することを得た。分けているのは可換性である（第5節）。

第五に、クラメール＝ラオの柵は不偏性である。$d$ 次元正規平均について本稿で二乗誤差を計算すると、ジェームズ＝スタイン推定量は $d=3$ で $1.597$ 対 $2.993$、$d=10$ で $1.250$ 対 $9.985$ と最尤推定量に勝つ。それは偏りを持つので、柵の外に立っている。そして閾値 $d\ge3$ は、次元が本当に選んでいる例である（論文114）（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。フィッシャー（1925）、ラオ（1945）、チェンツォフ（1972）、甘利（1985）、ペッツ（1996）、スタイン（1956）とジェームズ＝スタイン（1961）はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、符号数と曲率の二重の相違を明示したこと、一意性の柵を数えたこと、量子側で柵が破れることを数値で見せたこと、クラメール＝ラオの柵の外に立つ実例を挙げたことだけである。情報幾何と時空幾何を同型と呼ばない。

1. 記法と位置づけ

母数 $\theta$ を持つ確率密度 $p(x;\theta)$ について、フィッシャー情報行列を
$$ g_{ij}(\theta)=\int \partial_i\log p\;\partial_j\log p\;p\,dx \tag{1} $$
と書く。これを確率分布のなす多様体上のリーマン計量と読むのが情報幾何である。

位置づけ：既存の定理を並べ、その射程を書く。新しい定理は主張しない。論文17 は別根と言うのは半分であり、住所を書いて初めて検査可能になると述べた。本稿は「計量」という一語について、それを行う。

2. 符号数が違い、曲率も違う

検算 2.1（正規分布族のフィッシャー計量）：$p(x;\mu,\sigma)$ を正規分布として (1) を実行すると、本稿では
$$ g=\mathrm{diag}\!\left(\sigma^{-2},\;2\sigma^{-2}\right) $$
を得た。固有値は $\sigma^{-2}$ と $2\sigma^{-2}$、二つとも正である。（証明終）

検算 2.2（曲率）：この計量のガウス曲率を本稿で計算すると定数 $-1/2$ である。負の定曲率、上半平面の双曲幾何と同じ型である。（証明終）

観察 2.3 （ミンコフスキーとの二重の相違）　

違いは一つではない。符号数と曲率の、二つの独立な相違がある。「統計の多様体にも時空と同じように計量が入る」という言い方は、この二つを見落としている。

観察 2.4 （不定符号は光を作る）　ミンコフスキー計量が不定符号であることは装飾ではない。ゼロでない長さゼロのベクトル、すなわち光的方向が存在するのは不定符号だからである（論文111）。正定値な計量には光円錐が無い。因果構造という語がフィッシャー計量の上に意味を持たないのは、そのためである。

3. 一語が、数とテンソルを指している

検算 3.1（母数を取り替える）：$\mu=a\nu$ と置き換えると、本稿の計算では $g_{\nu\nu}=a^2\,g_{\mu\mu}$ となる。「フィッシャー情報の値」は母数の取り方で動く。（証明終）

観察 3.2 （動かないもの）　動かないのはテンソルとしての計量である。(1) は正しく変換するから、曲率や測地線といった幾何的な量は母数の取り方に依らない。

観察 3.3 （一語、二つの対象）　「フィッシャー情報」は、行列の成分という数を指すことも、多様体上の計量というテンソルを指すこともある。前者は規約を含み、後者は含まない（論文95）。どちらを言っているかを書かないうちは、比較は始まらない。

4. 一意性はある。ただし条件つきである

確立された事実 4.1（チェンツォフの定理 1972）：有限標本空間上の統計多様体において、十分統計量による写像（マルコフ射）のもとで不変なリーマン計量は、定数倍を除いてフィッシャー計量ただ一つである。

観察 4.2 （これが本当の中身である）　情報幾何はしばしば「確率分布の空間に自然な計量が入る」と紹介される。だが「自然な」は評価語であって定理ではない。定理が言っているのは「ちょうど一つある」である。存在ではなく一意性が、この分野の芯である（論文126・127）。

観察 4.3 （柵を数える）　チェンツォフの定理が要求するのは、(i) 有限標本空間、(ii) マルコフ射のもとでの不変性、(iii) リーマン計量であることである。一つ落とせば一意性は失われる。論文127 は一意性定理があると聞いたら、まずその柵を数えよと述べた。本稿はその指示に従う。

5. 量子では、一族になる

確立された事実 5.1（ペッツの分類 1996）：量子状態の空間において、完全正な写像のもとで単調な計量は一意ではなく、作用素単調関数で径数づけられる一族をなす。SLD情報、RLD情報、クボ＝モリ情報、ビュール計量はその成員である。

検算 5.2（一族であることを見る）：一量子ビットについて、SLD情報 $\mathrm{Tr}(\rho L^2)$（$L$ は $\partial\rho=\frac12(L\rho+\rho L)$ の解）とクボ＝モリ情報 $\mathrm{Tr}(\partial\rho\,\partial\log\rho)$ を数値計算した。

回転する族のSLD値 $0.360000$ は $r^2=0.6^2$ に厳密に一致し、計算が正しいことを裏づける。（証明終）

観察 5.3 （分けているもの）　可換な族では、量子の単調計量はすべて古典のフィッシャー計量に潰れる。非可換なところでだけ、一族が広がる。分離子は可換性である。

観察 5.4 （柵の形）　

論文127 と同じ形である。一意性は真ん中の行にしかなく、柵の外に出れば消える。そこではワイル関係と自由度が柵だった。ここでは可換性が柵である。

6. クラメール＝ラオの柵は、不偏性である

確立された事実 6.1：不偏推定量の分散はフィッシャー情報の逆数以上である。「不偏」は仮定であって、飾りではない。

検算 6.2（柵の外に立つ推定量）：$X\sim N(\theta,I_d)$、$\theta=0$ について、最尤推定量とジェームズ＝スタイン推定量の二乗誤差を $20$ 万回の試行で比較した。

（$d\le2$ では縮小係数の $d-2$ が正でなく、この推定量は意味を持たない。）（証明終）

観察 6.3 （矛盾ではない）　ジェームズ＝スタイン推定量は偏りを持つ。ゆえにクラメール＝ラオの言明が適用される範囲の外にある。定理は破れていない。反例は定理の届かないところに立っている（論文127 のガラポンの反例と同じ形）。

観察 6.4 （そして閾値は本物である）　$d\ge3$ という条件は緩めることができない。$d=1,2$ では最尤推定量が許容的である。次元が本当に選んでいる例であり（論文114）、体系の $n=d-1$ のように次元を選ばない側とは資格が違う。

7. 結論

1. 符号数が違い、曲率も違う（検算2.1・2.2）。フィッシャー計量は$(2,0)$ 正定値・定曲率 $-1/2$、ミンコフスキー計量は$(1,3)$ 不定符号・平坦。違いは二つあり、独立である。
2. 一語が数とテンソルを指している（検算3.1）。母数を取り替えれば値は $a^2$ 倍になり、テンソルとしての計量は動かない。
3. 一意性がある（事実4.1）。チェンツォフの定理は「自然な計量がある」ではなく「ちょうど一つある」と述べる。存在ではなく一意性が芯である。
4. その一意性は柵の内側にしかない（検算5.2）。量子では単調計量が一族をなし、非可換な族で $0.3600$ 対 $0.4159$ と食い違い、可換な族で完全に一致する。分離子は可換性である。
5. クラメール＝ラオの柵は不偏性である（検算6.2）。ジェームズ＝スタイン推定量は $d\ge3$ で最尤推定量に勝つが、偏りを持つので柵の外に立っている。定理は破れていない。
6. そして $d\ge3$ は次元が本当に選んでいる例である（観察6.4・論文114）。

結び：同じ「計量」という語が、符号数の違う二つの対象に使われている。そして一意性という強い言明は、いつも柵とともに来る。チェンツォフの柵は古典であること、クラメール＝ラオの柵は不偏であること。柵を数えずに一意性を受け取ってはならない。

参考文献

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2. Rao, C. R. (1945). Information and the accuracy attainable in the estimation of statistical parameters. Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 37.
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9. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
10. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
11. 山岸勇輝 (2026). 二つのエントロピー [論文88]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21747809
12. 山岸勇輝 (2026). フラクタル次元 [論文94]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758581
13. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
14. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
15. 山岸勇輝 (2026). ウィーナー・フィルタ [論文106]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836984
16. 山岸勇輝 (2026). ミンコフスキーの不変間隔 [論文108]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837313
17. 山岸勇輝 (2026). 極限としてのモジュール [論文113]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21962996
18. 山岸勇輝 (2026). 四次元にいると知っているのは誰か [論文114]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21963544
19. 山岸勇輝 (2026). 尺度不変性は四つの根を持つ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
20. 山岸勇輝 (2026). 同じ「正準交換関係」が、三つの別の状況を指している [論文127]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079508
21. 山岸勇輝 (2026). $\hbar$ は、不等式の数学の側には無い [論文129]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079681
22. 山岸勇輝 (2026). $k_BT\ln2$ のうち、物理は $T$ だけである [論文131]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080240
23. 山岸勇輝 (2026). 伊藤の $2$ は、次元ではない [論文132]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080358

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「フィッシャー計量が一意なのは、古典の側だけである」［論文133］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22080550

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Fisher Metric Is Unique Only on the Classical Side},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/133},
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