Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

本を作るときは「紙の目を背に揃える」と言われる。本稿は、それが何を揃えているのかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、紙の伸びは向きで違う。相対湿度が $30$ パーセント上がると、目の向きで $0.003$、直角の向きで $0.012$ 伸びる（第2節）。

第二に、綴じた辺に沿う向きは伸びを縛られる。縛られた伸びの行き場が、自由な縁の波になる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。どちらの向きを縛るかで波の高さが変わる。目が背と平行なら振幅 $\mathbf{0.349083}$ mm、直角なら $\mathbf{0.700507}$ mm である（第3節）。

第四に、伸びの差ほどには波は違わない。ひずみは $4$ 倍なのに、振幅は $\mathbf{2.006707}$ 倍である（第3節）。

第五に、振幅は伸びの平方根で効く。近似 $(w/\pi)\sqrt{\varepsilon}$ は厳密な弧長の計算と $1$ パーセント以内で合う（第3節）。

第六に、分離子は、どれだけ湿るかを問うか、どの向きを縛るかを問うかである。同じ紙が同じだけ湿っても、置く向きで波打ち方が変わる（第4節）。

キーワード：紙の目、湿度膨張、異方性、波打ち、製本、模型。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。紙の湿度による伸びが繊維の向きで異なり、目と直角の向きのほうが大きいこと、製本で紙の目を背と平行にする習わし、伸びを縛られた薄い板が波打つこと、正弦波の弧長と振幅の関係は、いずれも既知である。実在の紙の値を主張しない。伸びの係数 $1\times10^{-4}$ と $4\times10^{-4}$、波長 $20$ mm は模型の値である。製本を指示しない。綴じ方の手順や材料の選び方は述べない。乾きを入れない。乾いて縮むときの反り（カール）は扱わない。紙の強さを扱わない。破れや折り目の付き方は主題ではない。既刊との関係：論文342 は同じ二材料を同じ割合で混ぜても、並べ方で剛性が $16.93$ 倍ひらくことを示した。本稿はその隣に置く。あちらは並べ方が硬さを変え、こちらは向きの置き方が波打ちを変える。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。湿る量と縛る向きは、その基準で別根である。加えたのは、二つの向きで波の振幅を厳密な弧長から出したこと、ひずみ $4$ 倍が振幅 $2.006707$ 倍になると測ったこと、近似と厳密な計算が $1$ パーセント以内で合うと確かめたこと、分離子を「湿る量か、縛る向きか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：紙が相対湿度 $\Delta\phi$ だけ湿ると、目の向きには $\beta_{\mathrm{MD}}\Delta\phi$、直角の向きには $\beta_{\mathrm{CD}}\Delta\phi$ のひずみが生じる。背に沿う向きは綴じられて伸びられず、縛られたひずみ $\varepsilon$ のぶんが自由な縁で波長 $w$ の正弦波になると置く。

$$\frac{1}{w}\int_{0}^{w}\sqrt{1+\left(\frac{2\pi a}{w}\cos\frac{2\pi x}{w}\right)^{2}}\,dx=1+\varepsilon,
\qquad a\approx\frac{w}{\pi}\sqrt{\varepsilon}$$

左の式を振幅 $a$ について解く。右は $\varepsilon$ が小さいときの近似である。本稿は $\beta_{\mathrm{MD}}=1\times10^{-4}$、$\beta_{\mathrm{CD}}=4\times10^{-4}$、$\Delta\phi=30$、$w=20$ mm と置く。

問い：ページの波打ちは、湿る量で決まるのか、向きの置き方で決まるのか。

2. 向きで違う伸び

計算 2.1：相対湿度が $30$ パーセント上がったときのひずみを出した。

観察 2.2　同じ湿りで、伸びは向きで $4$ 倍違う。背に沿う向きがどちらになるかで、縛られるひずみが変わる。湿る量は同じで、違うのは縛られる向きだけである。

3. 波の高さ

計算 3.1：縛られたひずみから、自由な縁の波の振幅を厳密な弧長の式で解いた。

観察 3.2　これが本稿の芯である。向きの置き方で波の高さが変わる。目が背と直角だと、平行のときの $2.006707$ 倍の高さで波打つ。目を背に揃えるのは、伸びの小さい向きを縛られた辺に合わせることである。

観察 3.3　ひずみ $4$ 倍が、振幅 $2$ 倍にしかならない。比は $2.006707$ で、$4$ の平方根にほぼ等しい。余った長さは波の高さの二乗で吸収されるので、高さは伸びの平方根で効くからである。

観察 3.4　近似と厳密な計算は $1$ パーセント以内で合う。厳密な振幅がわずかに大きいのは、弧長の高い次の項のぶんである。比が $2$ よりわずかに大きいのも同じ理由による。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、どれだけ湿るかを問うか、どの向きを縛るかを問うかである。湿りの量を同じにしても、縛る向きで振幅は $0.349083$ mm と $0.700507$ mm に分かれる。同じ紙が同じだけ湿っても、置く向きで波打ち方が変わる。

観察 4.2　論文342 の隣に置く。342 は同じ二材料を同じ割合で混ぜても、並べ方で剛性が $16.93$ 倍ひらくことを示した。あちらは材料の並べ方が硬さを変え、こちらは向きの置き方が波打ちを変える。どちらも中身を変えずに向きと配置だけで答が変わる。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。湿る量と縛る向きは、その基準で別根である。

観察 4.3　言わないこと。実在の紙の係数も、製本の手順も、乾いたときの反りも、紙の強さも扱わない。示したのは、波打ちを決めるのが縛る向きだということである。

5. 点呼と結び

1. 目の向きのひずみ $0.003000$（計算 2.1）：小さい。
2. 直角の向き $0.012000$（計算 2.1）：$4$ 倍。
3. 背に沿う向きは縛られる（第1節）：行き場が波になる。
4. 平行なら $\mathbf{0.349083}$ mm（計算 3.1）：低い波。
5. 直角なら $\mathbf{0.700507}$ mm（計算 3.1）：本稿の芯。
6. 比は $\mathbf{2.006707}$（観察 3.3）：$4$ 倍にならない。
7. 高さは伸びの平方根（観察 3.3）：二乗で吸収される。
8. 近似は $1$ パーセント以内（観察 3.4）：高い次の項のぶんだけずれる。
9. 揃えるのは小さい伸びの向き（観察 3.2）：作法ではない。
10. 湿る量か、縛る向きか（観察 4.1）：分離子・論文342・300。

結び：本のページが波打つかどうかは、紙が湿る量より、綴じた辺にどちらの向きを沿わせたかで決まる。相対湿度が $30$ パーセント上がると紙は目の向きで $0.003$、直角の向きで $0.012$ 伸び、背に沿う向きは綴じられて伸びられないので、そのぶんが自由な縁の波になる。縛られた伸びの行き場が、縁の波しかないからである。波長 $20$ mm の振幅は、目が背と平行なら $0.349083$ mm、直角なら $0.700507$ mm で、ひずみは $4$ 倍でも振幅は $2.006707$ 倍にとどまる。余った長さは波の高さの二乗で吸収されるので、高さは伸びの平方根で効くからである。目を背に揃えるのは、伸びの小さい向きを縛られた辺に合わせることである。既刊との位置：論文342 の「並べ方で硬さが変わる」の隣に、「向きの置き方で波打ちが変わる」を置き、論文300 の規律で湿る量と縛る向きを別根として扱った。正直に言えば、伸びの係数と波長は模型の値で、乾いて縮むときの反りは入れていない。

参考文献

1. Niskanen, K. (Ed.) (2012). Mechanics of Paper Products. De Gruyter.
2. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/300 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22171914
3. 山岸勇輝 (2026). 『同じ二材料を同じ割合で混ぜて、剛性が $16.93$ 倍ひらく』[論文342]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/342 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22682160

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「本のページが波打つかどうかは、紙が湿る量より、綴じた辺にどちらの向きを沿わせたかで決まる」［論文859］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/859

@misc{yamagishi2026yoi859,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether Book Pages Cockle Depends Less on How Damp the Paper Gets Than on Which Direction Runs Along the Bound Edge},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/859},
  note = {Preprint, edition 1}
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