Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

アンテナの利得（ここでは損失の無い指向性）は、ある向きに出る電力を、全方向に均等に配ったときの何倍かで表す。本稿は、利得を全方向で平均すると何になるかを確かめ、ビームの半値全幅から利得を見積もる係数がパターンの形でどれだけ変わるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、利得は全方向で平均すると $1$ である。短いダイポール・半波長ダイポール・余弦の冪の四つのパターン・二つの円形開口のどれでも、利得を $4\pi$ の立体角で平均すると $1$ で、差は $4.6\times10^{-15}$ 以内だった。短いダイポールは $1.500000$、半波長ダイポールは $\mathbf{1.640922}$ である（第2節）。

第二に、半値全幅から利得を出す係数は、パターンで変わる。利得×半値全幅の二乗（度²）は、余弦の $2$ 乗で $48600.0$、$10$ 乗で $39131.5$、$100$ 乗で $36686.7$、$1000$ 乗で $36435.5$ と下がった（第2節）。

第三に、裾の無い形は、ガウス形の極限に下りる。ガウス形の極限は $\mathbf{36407.5}$ 度²で、$4\pi$ ステラジアン $41252.961$ 度²の $0.882542$ 倍だった（第2節）。

第四に、裾を持つ円形開口の係数は、ガウスの極限より小さい。一様な円形開口では $ka=10$ で $34841.9$、$ka=30$ で $\mathbf{34392.7}$ だった。円形開口では最初の暗い輪の外へ電力の $\mathbf{0.162215}$ が出ている（第3節）。

第五に、分離子は、主ビームの外に出る電力の割合である。利得は $4\pi$ を主ビームに配った比なので、同じ半値全幅でも主ビームの外へ出る電力が多いほど利得は小さい。$41253$ を半値全幅の二乗で割る見積もりは、パターンによって $1.178097$ 倍から $0.833703$ 倍まで外れた（第4節）。

キーワード：アンテナの利得、指向性、半値全幅、立体角、サイドローブ、円形開口。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。指向性の定義、ダイポールの放射パターンと指向性、一様な円形開口の回折パターン、半値全幅から指向性を見積もる経験則は、いずれも標準的である。アンテナを設計しない。給電、整合、実在の製品の値は扱わない。損失を入れない。利得を指向性と同じに置く。効率による目減りは入れない。どの経験則が正しいかを裁かない。$41253$ やその他の係数のどれを使うべきかは述べず、パターンごとの値を並べるだけである。回転対称なパターンだけを使う。二つの面で幅の違うビームは扱わない。円形開口と余弦の冪のパターンは前の半球だけに出すと置く。既刊との関係：論文384 の射程注記は、アンテナの放射抵抗や指向性の理論には立ち入らないと書いた。本稿はその指向性の席に座る（先客なし）。論文335 は、レーダーでは往復で距離の冪が変わることを示した。ここでは、その式に入る利得が、全方向の平均が $1$ になるように $4\pi$ の立体角を配り直した比であることを数える。加えたのは、八つのパターンで利得の全方向の平均が $1$ であることを確かめたこと、半値全幅から利得を出す係数を並べたこと、余弦の冪のパターンの係数がガウス形の極限 $36407.5$ 度²に下りることを示したこと、裾を持つ円形開口の係数がその極限より小さいことを出したこと、分離子を「主ビームの外に出る電力の割合」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：向き $(\theta,\phi)$ への放射の強さを $U$ とする。指向性 $D$（損失が無いときの利得）は次のとおりで、定義から全方向の平均は $1$ になる。

$$D(\theta,\phi)=\frac{4\pi\,U(\theta,\phi)}{\oint U\,d\Omega},\qquad \frac{1}{4\pi}\oint D\,d\Omega=1$$

半値全幅を $\theta_{\mathrm{HP}}$（度）とすると、見積もり $D\approx K/\theta_{\mathrm{HP}}^2$ の係数 $K$ を、実際の $D$ から $K=D \theta_{\mathrm{HP}}^2$ として出す。検算では回転対称なパターンを球面で積分し、円形開口のパターン $(2J_1(u)/u)^2$（$u=ka\sin\theta$）の $J_1$ は積分表示から求めた。

問い：利得は何を増やしているのか。半値全幅から利得を出す係数は、何で決まるのか。

2. 全方向の平均と、裾の無い形

計算 2.1：八つのパターン。

全方向の平均と $1$ の差は最大 $4.6\times10^{-15}$、ダイポールの $1.5$ と $1.6409$ との差は $2.8\times10^{-14}$ と $3.8\times10^{-7}$ だった。

計算 2.2：$4\pi$ ステラジアンは $41252.961$ 度²、ガウス形の極限 $16\ln2$ ラジアン²は $\mathbf{36407.5}$ 度²（比 $0.882542$）だった。

観察 2.3　利得は電力を増やさず、$4\pi$ の立体角への配り方を測る。どのパターンでも全方向の平均は $1$ で、ある向きで $1$ を超えたぶん、ほかの向きで $1$ を下回る。裾の無い $\cos^n\theta$ では、ビームが細くなるにつれて係数 $K$ がガウス形の極限へ下りた。

3. 裾を持つ形

計算 3.1：一様な円形開口の係数は $ka=10$ で $34841.9$、$ka=30$ で $\mathbf{34392.7}$ 度²で、どちらもガウス形の極限 $36407.5$ 度²より小さい。最初の暗い輪（$u=3.8317$）の外へ出る電力の割合は $J_0^2+J_1^2=\mathbf{0.162215}$ だった（その点で $J_1$ は $3.0\times10^{-12}$）。

観察 3.2　裾に電力を持つ形は、同じ半値全幅でも利得が小さい。半値全幅は主ビームの細さしか見ていない。主ビームの外へ出た電力は、全方向の平均 $1$ の中から主ビームの取り分を減らす。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、主ビームの外に出る電力の割合である。その割合が $0$ の $\cos^n\theta$ では係数がガウスの極限へ下り、円形開口ではそれより小さくなった。$41253$ を半値全幅の二乗で割る見積もりに対する実際の利得の比は、$\cos^2\theta$ の $1.178097$ から、$\cos^{100}\theta$ の $0.889310$、円形開口 $ka=30$ の $0.833703$ まで動いた。

観察 4.2　言わないこと。アンテナの設計、損失、二つの面で幅の違うビーム、どの経験則を使うべきかは扱わない。示したのは、利得が $4\pi$ の配り方の比であり、半値幅から利得を出す係数が裾の電力で変わることである。

5. 点呼と結び

1. $D=4\pi U/\oint U d\Omega$（第1節）：全方向の平均 $1$。
2. 平均の差 $4.6\times10^{-15}$（計算 2.1）：八つのパターン。
3. 半波長ダイポール $\mathbf{1.640922}$（計算 2.1）：既知の値。
4. $K$ が $48600.0$ から $36435.5$（計算 2.1）：パターンで変わる。
5. ガウスの極限 $\mathbf{36407.5}$ 度²（計算 2.2）：裾の無い形。
6. 円形開口 $\mathbf{34392.7}$ 度²・外へ $\mathbf{0.162215}$（計算 3.1）：裾を持つ形。
7. 主ビームの外に出る電力の割合（観察 4.1）：分離子・論文384 の射程注記・論文335。

結び：アンテナの利得は全方向で平均すると $1$ で、半値幅から利得を出す係数は裾の電力で変わる。八つのパターンのどれでも利得の全方向の平均は $1$ で、利得は電力を増やさず $4\pi$ の立体角への配り方を測っていた。半値全幅から利得を出す係数は、裾の無い形でガウスの極限 $36407.5$ 度²へ下り、最初の暗い輪の外へ $0.162215$ を出す円形開口では $34392.7$ 度²とさらに小さかった。同じ半値全幅でも、主ビームの外へ出た電力は主ビームの取り分を減らす。分離子は、主ビームの外に出る電力の割合である。既刊との位置：論文384 が立ち入らなかった指向性を、論文335 の往復の式に入る利得の中身として数えた。正直に言えば、どの係数を使うべきかは言わない。利得が配り方の比であることと、係数が裾で動くこと、そこまでである。

参考文献

1. Balanis, C. A. (2016). Antenna Theory: Analysis and Design. Wiley.
2. Kraus, J. D. (1988). Antennas. McGraw-Hill.
3. 山岸勇輝 (2026). 『往復すると、冪が変わる』[論文335]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/335 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22681851
4. 山岸勇輝 (2026). 『「自由空間損失」は損失ではない。真空は何も吸収していない』[論文384]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/384 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22699073

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「アンテナの利得は全方向で平均すると 1 で、半値幅から利得を出す係数は裾の電力で変わる」［論文918］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/918

@misc{yamagishi2026yoi918,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Antenna Gain Averages to 1 over All Directions, and the Factor That Turns Beamwidth into Gain Depends on the Power in the Skirts},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/918},
  note = {Preprint, edition 1}
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