Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

光は最短の道を通ると言われる。本稿が示すのは、停留点が最小・最大・縮退の三通りあり、三つとも光学の中で作れることである。楕円鏡では $24$ 点すべてが等しく、幅は $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$ である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平面鏡では停留点が $x=0.000000017$ に来て、経路長 $\mathbf{2.828427125}$ は両隣の $2.831969281$ より短い。最小である（第2節）。

第二に、そこで入射角と反射角が $45.000000$ 度 対 $45.000000$ 度で一致する（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。曲率の大きい鏡では、頂点の $\mathbf{3.572114220}$ が両隣の $3.571008542$ より長い。同じ停留条件が最大を与える（第3節）。

第四に、楕円の二焦点を結ぶ反射では、$24$ 点すべてで経路長が $\mathbf{4.000000000000}$ になる。幅は $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$ で、最小でも最大でもない（第3節）。

第五に、同じ停留条件から屈折のスネルの法則が出る。$n_{1}\sin\theta_{1}=0.806200914$ 対 $n_{2}\sin\theta_{2}=0.806200883$（第4節）。

第六に、分離子は「停留か、最小か」である（第4節）。

キーワード：フェルマーの原理、停留点、変分原理、光路長、極値。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。フェルマーの原理が停留であって最小でないことは標準的であり、論文84 が既に「停留であって最小とは限らない（鞍点もある）」と書いている。本稿が加えるのは数である。最小・最大・縮退の三つを光学の中で実際に作り、値を並べた。とくに縮退の場合は「鞍点」という言い方には収まらない。変分法の一般論を書かない。第二変分、共役点、モース指数の理論には立ち入らない。一変数の数値探索で足りる範囲だけを見る。波動光学を扱わない。回折、干渉、経路積分による停留位相の説明は主題ではない。幾何光学の経路長だけを見る。目的論を持ち込まない。論文84 と 97 が退けたとおり、光が道を「選ぶ」とは書かない。停留は局所条件である。既刊との関係：論文84 は最小作用が停留であって目的論ではないと示した。本稿はその一文に、反例となる数を付ける。論文143 は最小エントロピー生成が原理ではなく柵つきの定理だと示した。「最小」を名乗る主張の柵を書く点で同じ形である。論文486 は三つの分野の最適点が同じ頂点だと示した。そこでは頂点が一種類だった。本稿は頂点に三種類あることを示す。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した。本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、最小の例を $2.828427125$ 対 $2.831969281$ で出したこと、最大の例を $3.572114220$ 対 $3.571008542$ で出したこと、縮退の例を幅 $4.441\times10^{-16}$ で出したこと、三つを同じ枠で並べたこと、停留条件からスネルの法則を数値で確かめたことである。

1. 記法と問い

設定：点 $A$ から鏡の点 $x$ を経て点 $B$ に至る光学的経路長を

$$L(x)=n_{1}\,|Ax|+n_{2}\,|xB|$$

とする。フェルマーの原理は $L'(x)=0$、すなわち $L$ が停留であることを要求する。$L$ が最小であることは要求していない。以下、鏡の形を変えて $L$ の様子を見る。

観察 1.1　光は最短の道を通ると言われる。最小の経路、「自然は無駄をしない」という言い方と一緒に使われる像である。

観察 1.2　だが条件は $L'(x)=0$ である。一階の条件、二階の符号については何も言っていない。

問い：最小でない停留点は、実際に作れるのか。

2. 最小になる場合

計算 2.1：平面鏡で $L(x)$ の停留点を探すと $x=0.000000017$、そこでの経路長は $\mathbf{2.828427125}$ である。探索区間 $[-5,5]$ の内側にあり、端に張り付いていない。

観察 2.2　それは最小である。$2.828427125 < 2.831969281$、両隣より短く、谷になっている。

観察 2.3　停留点は対称点に来る。$x=0.000000017$、厳密には $0$ で、残っているのは数値探索の刻みである。

観察 2.4　そこで入射角と反射角が一致する。$45.000000$ 度 対 $45.000000$ 度、反射の法則が停留条件から出ており、独立な確認になる。

観察 2.5　ここまでは「最短の道」で困らない。平面鏡なら最小、この一例だけを見ていれば、原理を「最小原理」と呼んでも矛盾は出ない。

3. 最大になる場合と、どこでも同じ場合

計算 3.1：鏡の曲率を大きくして、同じ探索をする。

観察 3.2　停留点が最大になっている。$3.572114220 > 3.571008542$、両隣より長く、山になっている。同じ $L'(x)=0$ が、谷ではなく山を指した。

観察 3.3　だから「最小」ではなく「停留」である。最小の例と最大の例が両方ある。反例が一つあれば、最小という言い方は成り立たない。

計算 3.4：楕円の二焦点を $A$、$B$ に置き、楕円上の $24$ 点で反射させる。

観察 3.5　どこで反射しても同じである。幅 $4.441\times10^{-16}$、倍精度の丸めの大きさであり、$24$ 点すべてが等しい。

観察 3.6　値は長軸に一致する。$4.000000000000$ 対 $2a=4.0000$、楕円の定義から来る値で、独立な確認になる。

観察 3.7　これは最小でも最大でもない。全部の点が停留点である。谷でも山でもなく、平らである。「鞍点もある」という言い方には、この場合が入っていない。

4. 分離子

分離子：要求しているのが停留か、最小か。

観察 4.1　停留なら、三通りある。最小・最大・縮退、三つとも光学の中で作れた。

観察 4.2　最小なら、曲率の大きい鏡が反例になる。$3.572114220 > 3.571008542$、一階の条件は満たすが、最小ではない。

観察 4.3　同じ停留条件から、屈折の法則も出る。停留点 $x=0.362650234$ で $n_{1}\sin\theta_{1}=0.806200914$、$n_{2}\sin\theta_{2}=0.806200883$、スネルの法則であり、法則の側は最小か最大かに依らない。

観察 4.4　つまり物理を担っているのは一階の条件だけである。二階の符号は形が決める。鏡の曲率という、原理の外にある量である。

観察 4.5　論文84 は同じことを言葉で書いていた。「停留であって最小とは限らない」。本稿が足したのは数と、第三の場合である。「鞍点もある」では縮退が落ちる。

観察 4.6　論文143 と同じ形でもある。最小エントロピー生成は原理ではなく柵つきの定理だった。「最小」を名乗る主張には、たいてい柵が要る。

観察 4.7　正直に言えば、縮退の例は特別な配置に依っている。二焦点という一点でだけ起きる。焦点から少しでもずらせば平らでなくなり、三通りのうち縮退だけが不安定である。三つを対等に並べたが、実際に出会う頻度は同じではない。

5. 点呼と結び

1. 平面鏡で $2.828427125$（計算 2.1）：両隣より短い。
2. 入射角と反射角が $45.000000$ 度（観察 2.4）：独立な確認。
3. 頂点で $3.572114220$（計算 3.1）：本稿の芯。
4. 両隣は $3.571008542$（観察 3.2）：停留点が最大。
5. 楕円で $24$ 点とも $4.000000000000$（計算 3.4）：幅 $4.441\times10^{-16}$。
6. 値が長軸 $2a$ に一致（観察 3.6）：楕円の定義から。
7. 縮退は鞍点ではない（観察 3.7）：谷でも山でもない。
8. スネルの法則が出る（観察 4.3）：$0.806200914$ 対 $0.806200883$。
9. 分離子は停留か最小か（観察 4.1）：停留なら三通り。
10. 縮退は不安定（観察 4.7）：二焦点でだけ起きる。

結び：光は最短の道を通ると言われる。最小の経路という、「自然は無駄をしない」と一緒に使われる像である。だが条件は $L'(x)=0$ という一階の条件であって、二階の符号については何も言っていない。最小になる場合、平面鏡では停留点が $x=0.000000017$ に来て、経路長 $\mathbf{2.828427125}$ は両隣の $2.831969281$ より短く、探索区間 $[-5,5]$ の内側にあって端に張り付いていない。停留点は対称点に来ており、厳密には $0$ で、残っているのは数値探索の刻みである。そこで入射角と反射角が $45.000000$ 度 対 $45.000000$ 度で一致し、反射の法則が停留条件から出ることの独立な確認になる。ここまでは「最短の道」で困らず、この一例だけを見ていれば原理を「最小原理」と呼んでも矛盾は出ない。最大になる場合と、どこでも同じ場合、鏡の曲率を大きくすると、頂点の経路長 $\mathbf{3.572114220}$ が両隣の $3.571008542$ より長くなる。同じ $L'(x)=0$ が、谷ではなく山を指した。最小の例と最大の例が両方あるのだから、「最小」ではなく「停留」である。さらに楕円の二焦点を結ぶ反射では、楕円上の $24$ 点すべてで経路長が $\mathbf{4.000000000000}$ となり、幅は $\mathbf{4.441\times10^{-16}}$、すなわち倍精度の丸めの大きさしかない。その値は長軸 $2a=4.0000$ に一致し、楕円の定義から来る独立な確認になる。これは最小でも最大でもなく、全部の点が停留点で、谷でも山でもなく平らである。「鞍点もある」という言い方には、この場合が入っていない。分けているものは一つ、要求しているのが停留か、最小か。停留なら最小・最大・縮退の三通りがあり、三つとも光学の中で作れた。最小なら曲率の大きい鏡が反例になり、一階の条件は満たすが最小ではない。同じ停留条件から屈折の法則も出て、停留点 $x=0.362650234$ で $n_{1}\sin\theta_{1}=0.806200914$、$n_{2}\sin\theta_{2}=0.806200883$ となる。スネルの法則であり、法則の側は最小か最大かに依らない。つまり物理を担っているのは一階の条件だけで、二階の符号を決めているのは鏡の曲率という、原理の外にある量である。論文84 は同じことを言葉で書いていた。「停留であって最小とは限らない」。本稿が足したのは数と、第三の場合である。「鞍点もある」では縮退が落ちる。論文143 と同じ形でもあり、最小エントロピー生成が原理ではなく柵つきの定理だったように、「最小」を名乗る主張にはたいてい柵が要る。正直に言えば、縮退の例は特別な配置に依っている。二焦点という一点でだけ起き、焦点から少しでもずらせば平らでなくなる。三通りのうち縮退だけが不安定であり、三つを対等に並べたが、実際に出会う頻度は同じではない。

参考文献

1. Born, M., & Wolf, E. (1999). Principles of Optics (7th ed.). Cambridge University Press.
2. Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Ch. 19. Addison-Wesley.
3. Lanczos, C. (1970). The Variational Principles of Mechanics (4th ed.). University of Toronto Press.
4. 山岸勇輝 (2026). 『最小作用の原理』[論文84]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21741231
5. 山岸勇輝 (2026). 『最小エントロピー生成は、原理ではなく柵つきの定理である』[論文143]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082367
6. 山岸勇輝 (2026). 『「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる』[論文481]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733927
7. 山岸勇輝 (2026). 『三つの分野に出る「ちょうど半分」は、物理ではなく二次関数の頂点である』[論文486]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22759952

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「停留点は三通りある」［論文487］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22759965

@misc{yamagishi2026yoi487,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Stationary Point Comes in Three Kinds: Minimum, Maximum, and Everywhere Equal},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/487},
  doi = {10.5281/zenodo.22759965},
  note = {Preprint, edition 1}
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