Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1075 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1075 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1075】黄金比の回転数の曲線は、部分商が 2 や 3 の数の曲線より強い蹴りまで残る

@misc{yamagishi2026yoi1075,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Invariant Curve with the Golden Rotation Number Survives Stronger Kicks than Those with Partial Quotients 2 or 3},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1075},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969378・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:04（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

回る棒を一定の間隔で蹴る模型（チリコフ 1979 の標準写像）では、蹴りが弱いうちは位相平面を横に渡る曲線（不変曲線）が残り、点はその上と下を行き来できない。蹴りを強めると、曲線は一本ずつ壊れる。グリーン（1979）は、回転数が黄金比の曲線が最後まで残ると見立て、それが壊れる蹴りを求めた。本稿は、黄金比の曲線と、連分数の部分商がどれも 2 の数・どれも 3 の数の曲線が壊れる蹴りを同じ方法で測って並べ、順を分けているものを名指す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、測り方。回転数 p/q の周期軌道を対称な線の上で探し、その留数（一周ぶんのヤコビ行列の跡から作る数）が 0.25 に届く蹴りを、曲線が壊れる目安にした（グリーンの方法）。

第二に、黄金比。近似分数を 5/8 から 377/610 まで細かくすると、目安の蹴りは文献の値 $\mathbf{0.97163540631}$ に寄り、377/610 では $\mathbf{0.971635313}$ で、差は $9.32$×10⁻⁸ である。

第三に、これが本稿の芯である。部分商が大きい数ほど先に壊れる。部分商がどれも 2 の数（√2 − 1）は $\mathbf{0.957652029}$、どれも 3 の数は $\mathbf{0.891360492}$ で目安に届き、黄金比より先に壊れる。黄金比との隔たりは、近似分数を一段進めたときの動きの 46.4 倍と 68.8 倍である。

第四に、その順は、近似分数に近づかれにくい順と同じである。近似分数 p/q に対する q|qα − p| の行き着く値は、黄金比で $\mathbf{0.447213596}$（論文812 の値）、部分商 2 の数で $\mathbf{0.353553391}$、部分商 3 の数で $\mathbf{0.277350098}$ である。三つとも連分数の周期が 1 の二次の無理数で、分けているのは周期ではなく部分商の大きさである。

第五に、留数と関係のない道でも確かめた。曲線の下から出した 2000 点を 10 万歩ずつ動かすと、蹴り 0.95 と 0.97 ではどの点も上へ抜けず、1.10 では 3 割余り、1.30 では 8 割余りが抜けた。

正直に書くと、見込みが四つ外れた。文献の値との差の符号は 233/377 まで交互だったが 377/610 で同じ向きが続いた。差は一段ごとに縮むと見込んだが 233/377 で一度広がった。分母が 1000 前後の近似分数では、留数が正の軌道を倍精度で安定に追えず、分母 610 で止めた。蹴り 1.00 は文献の値より強いのに、10 万歩では一点も抜けなかった。

キーワード：標準写像、不変曲線、留数、黄金比、連分数、近似分数、KAM の定理

Abstract

In a model of a rotor kicked at regular intervals (the standard map of Chirikov, 1979), weak kicks leave curves that cross the phase plane (invariant curves), and a point cannot pass from below such a curve to above it.As the kick grows, the curves break one by one.Greene (1979) judged that the curve with the golden rotation number survives longest and determined the kick at which it breaks.This paper measures, by one method, the kick at which three curves break: the golden one, and those whose continued fractions have every partial quotient equal to 2 or to 3; it sets them side by side and names what orders them.It claims no new theorem and no new law.

First, the method. A periodic orbit of rotation number p/q is found on a symmetry line, and the kick at which its residue (a number built from the trace of the Jacobian over one period) reaches 0.25 is taken as the mark of breaking (Greene’s method).

Second, the golden ratio. Refining the convergents from 5/8 to 377/610, the marked kick approaches the published value $\mathbf{0.97163540631}$; at 377/610 it is $\mathbf{0.971635313}$, a difference of $9.32$×10⁻⁸.

Third, and this is the core of the paper, the larger the partial quotients, the earlier the curve breaks. The number whose partial quotients are all 2 (√2 − 1) reaches the mark at $\mathbf{0.957652029}$ and the one whose partial quotients are all 3 at $\mathbf{0.891360492}$, both before the golden ratio. Their distances from the golden value are 46.4 and 68.8 times the change produced by the last refinement of the convergents.

Fourth, this order is the order of how hard the numbers are to approach by convergents. The limit of q|qα − p| over the convergents p/q is $\mathbf{0.447213596}$ for the golden ratio (the value of Paper 812), $\mathbf{0.353553391}$ for partial quotients 2 and $\mathbf{0.277350098}$ for partial quotients 3. All three are quadratic irrationals with continued-fraction period 1; what separates them is not the period but the size of the partial quotients.

Fifth, a check that does not use residues. Moving 2000 points started below the curve for 100000 steps each, none escaped upward at kicks 0.95 and 0.97, while a little over 3 in 10 escaped at 1.10 and a little over 8 in 10 at 1.30.

To be candid, four expectations failed. The sign of the difference from the published value alternated up to 233/377 but kept the same direction at 377/610. The difference was expected to shrink at every step but grew once at 233/377. For convergents with denominators near 1000, the orbit with positive residue could not be followed stably in double precision, so the sequence stops at denominator 610. At kick 1.00, which exceeds the published value, not a single point escaped in 100000 steps.

Keywords: standard map, invariant curve, residue, golden ratio, continued fraction, convergent, KAM theorem

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1075/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1075 はいつも最新の版を指します）。

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