Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文133 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/133 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22080550）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文133】フィッシャー計量が一意なのは、古典の側だけである

@misc{yamagishi2026yoi133,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Fisher Metric Is Unique Only on the Classical Side},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/133},
  doi = {10.5281/zenodo.22080550},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

確率分布のなす空間には計量が入る。時空にも計量が入る（論文108）。本稿は、この二つが同型でないことを二つの独立な理由で書き、そのうえで一意性がどこまで届くかを数える。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、同じ「計量」でも符号数が違い、曲率も違う。正規分布族のフィッシャー計量を本稿で計算すると $\mathrm{diag}(\sigma^{-2},\,2\sigma^{-2})$、固有値は二つとも正、符号数 $(2,0)$、正定値である。ガウス曲率は定数 $-1/2$。一方ミンコフスキー計量は符号数 $(1,3)$、不定符号で平坦である。違いは一つではなく二つある（第2節）。

第二に、「フィッシャー情報」という一語が、数とテンソルの二つを指している。母数を $\mu=a\nu$ と置き換えれば $g$ は $a^2$ 倍になる。数としては母数の取り方で動く。動かないのはテンソルとしての計量である（第3節）。

第三に、一意性がある。ただし条件つきである。チェンツォフの定理（1972）は、十分統計量のもとで不変なリーマン計量は、定数倍を除いてフィッシャー計量ただ一つであると述べる。「自然な計量がある」ではなく「ちょうど一つある」。これが本当の中身である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。その一意性は柵の内側にしかない。量子では単調計量が一族をなす（ペッツ 1996）。本稿では一量子ビットについてSLD情報とクボ＝モリ情報を数値計算し、非可換な族では $0.3600$ 対 $0.4159$ と食い違い、可換な族では $0.1670$ 対 $0.1670$ と完全に一致することを得た。分けているのは可換性である（第5節）。

第五に、クラメール＝ラオの柵は不偏性である。$d$ 次元正規平均について本稿で二乗誤差を計算すると、ジェームズ＝スタイン推定量は $d=3$ で $1.597$ 対 $2.993$、$d=10$ で $1.250$ 対 $9.985$ と最尤推定量に勝つ。それは偏りを持つので、柵の外に立っている。そして閾値 $d\ge3$ は、次元が本当に選んでいる例である（論文114）（第6節）。

Abstract

The space of probability distributions carries a metric, and so does spacetime (Paper 108). This paper writes two independent reasons why the two are not isomorphic, and then counts how far uniqueness reaches. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the same word “metric” covers different signatures and different curvatures. Computing the Fisher metric of the Gaussian family gives $\mathrm{diag}(\sigma^{-2},\,2\sigma^{-2})$, both eigenvalues positive, so the signature is $(2,0)$, positive definite, and the Gaussian curvature is the constant $-1/2$. The Minkowski metric has signature $(1,3)$, indefinite, and is flat. There is not one difference but two (Section 2).

Second, the phrase “Fisher information” names both a number and a tensor. Reparametrising $\mu=a\nu$ multiplies $g$ by $a^2$: as a number it moves with the parametrisation. What does not move is the metric as a tensor (Section 3).

Third, there is a uniqueness theorem, and it carries conditions. Chentsov’s theorem (1972) states that the Riemannian metric invariant under sufficient statistics is the Fisher metric and no other, up to a constant. The real content is not that a natural metric exists but that exactly one does (Section 4).

Fourth, and this is the core. That uniqueness lives only inside a fence. Quantum mechanically the monotone metrics form a family (Petz 1996). For a single qubit this paper computes the SLD and Kubo–Mori informations and obtains $0.3600$ against $0.4159$ for a non-commuting family and $0.1670$ against $0.1670$, exactly equal, for a commuting one. The separator is commutativity (Section 5).

Fifth, the Cramér–Rao fence is unbiasedness. For a $d$-dimensional normal mean this paper compares mean squared errors and finds the James–Stein estimator beating the maximum-likelihood estimator, $1.597$ against $2.993$ at $d=3$ and $1.250$ against $9.985$ at $d=10$. It is biased, and therefore stands outside the fence. And the threshold $d\ge3$ is a case of a dimension genuinely selecting (Paper 114) (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/133/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/133 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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