Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文170 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/170 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22093731）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文170】約分すると、+1 ではなく -1 が出る

@misc{yamagishi2026yoi170,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Cancelling the Differentials Gives -1, Not +1},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/170},
  doi = {10.5281/zenodo.22093731},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

記法は規約であり、定理を一つも動かさない。だが何を思いつくかは動かす。本稿はライプニッツの $dy/dx$ について、その約束が守られる場所と破られる場所を同じ計算で並べる。新しい数学定理は主張しない。いずれも標準的な内容である。

第一に、記法は答を動かさない。ニュートンの点で書こうとライプニッツの $d$ で書こうと、$f(x)=\sin(x^2)e^{-x}$ の $x=0.7$ での微分は同じ $0.37970904324369351073$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$dy/dx$ は分数に見え、一変数の連鎖律では実際に約分のように振る舞う。ところが三つの変数が一つの関係で結ばれると、約分の答は $\mathbf{-1}$ である。理想気体でも、陰関数曲面 $x^3+y^3+z^3+xyz=10$ の三点でも、すべて $-1.0$（第3節）。

第三に、二階では分数の読みが破綻する。$x=t^3$、$y=t^2$ で、真の $d^2y/dx^2$ は $t=2$ で $-0.013888888888889$、分数として読むと $+0.16666666666667$、値どころか符号が違う（第4節）。

第四に、同じ記法が一方の約束は守る。積の法則は本当に二項定理であり（$n=6$ まで一致）、項数は $n+1$、重みの総和は $2^n$。一方連鎖律は守らない。項数は分割数、重みの総和はベル数であり、$n=10$ で $1024$ 対 $\mathbf{115975}$（第5節）。

第五に、同じ記号が二つの役を演じる。$z=x^2+y^2$、$y=3x$ で、$y$ を止めた微分と $y$ を追わせた微分は十倍違う。添字は飾りではない（第6節）。

Abstract

A notation is a convention and moves no theorem. It does move what occurs to one next. This paper sets side by side, in one computation, the places where Leibniz’s $dy/dx$ keeps its promise and the places where it breaks it. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED、all of this is standard.

First, notation does not move the answer. Written with Newton’s dot or with Leibniz’s $d$, the derivative of $f(x)=\sin(x^2)e^{-x}$ at $x=0.7$ is the same $0.37970904324369351073$ (Section 2).

Second, and this is the core. $dy/dx$ looks like a fraction, and in the one-variable chain rule it really does behave like cancellation. But once three variables are tied by one relation, cancelling gives $\mathbf{-1}$、for the ideal gas and at three points of the implicit surface $x^3+y^3+z^3+xyz=10$ alike, every value is $-1.0$ (Section 3).

Third, at second order the fraction reading collapses. With $x=t^3$ and $y=t^2$ the true $d^2y/dx^2$ is $-0.013888888888889$ at $t=2$ while the fraction reading gives $+0.16666666666667$、not the value but the sign is different (Section 4).

Fourth, the same notation keeps one of its promises. The product rule really is the binomial theorem (exact through $n=6$), with $n+1$ terms of total weight $2^n$. The chain rule does not、its terms number the partitions and their weights total the Bell numbers, $1024$ against $\mathbf{115975}$ at $n=10$ (Section 5).

Fifth, one symbol plays two roles. With $z=x^2+y^2$ and $y=3x$, holding $y$ fixed and letting $y$ follow differ by a factor of ten、the subscript is not decoration (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/170/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/170 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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