Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文176 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/176 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22097994）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文176】「小さい」は二つあって、両立しない

@misc{yamagishi2026yoi176,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Small” Is Two Words, and They Do Not Agree},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/176},
  doi = {10.5281/zenodo.22097994},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「ほとんどすべて」「ほとんど無い」という言い方には、二つの別の意味がある。測度で測った小ささと、範疇（ベールの意味）で測った小ささである。本稿はそれを点呼し、二つが逆の答を出すことを数で示す。新しい数学定理は主張しない。いずれも標準的な内容である。

第一に、可算集合では二つが一致する。だから同じ言葉で呼ばれてきた（第2節）。

第二に、太いカントール集合は疎なのに測度 $1/2$ である。$14$ 段で残る測度は $0.50003051757813$、最長の区間は $3.05\times10^{-5}$、範疇では無に等しく、測度では半分を占める（第3節）。

第三に、逆向きの例もある。有理数を $\varepsilon2^{-n}$ で覆うと、開かつ稠密でありながら測度は $\varepsilon$ 以下（$\varepsilon=0.001$ で測度 $0.0010000000$、補集合が $0.9990000000$）（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。実数直線は、測度零の集合と第一類の集合の和に分けられる。一方は測度から見て「無」で範疇から見て「全部」、他方はその正反対である（第5節）。

第五に、名前のついた証人がリウヴィル数である。被覆の測度の上界は $n=2$ で発散し、$n=3$ で $1.693$、$n=6$ で $0.109$ と落ちる。測度零でありながら、範疇では「ほとんどすべて」である（第5節）。

第六に、第三の「小さい」もある。三分カントール集合は測度零でありながら、ハウスドルフ次元は $0.630929753571$ で零ではない（第6節）。

Abstract

“Almost every” and “almost none” carry two different meanings（smallness measured by measure, and smallness measured by category in Baire’s sense. This paper calls them by name and shows in numbers that the two return opposite verdicts. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED）all of this is standard.

First, on countable sets the two agree、which is why one word has served for both (Section 2).

Second, the fat Cantor set is nowhere dense and of measure $1/2$. After $14$ steps the measure remaining is $0.50003051757813$ and the longest surviving piece is $3.05\times10^{-5}$、nothing at all to category, half the line to measure (Section 3).

Third, the reverse also happens. Covering the rationals with intervals of length $\varepsilon2^{-n}$ gives an open dense set of measure at most $\varepsilon$ (at $\varepsilon=0.001$, measure $0.0010000000$ against a complement of $0.9990000000$) (Section 4).

Fourth, and this is the core. The real line splits into a null set and a meagre set. One of them is nothing to measure and everything to category; the other is exactly the reverse (Section 5).

Fifth, there is a named witness: the Liouville numbers. The bound on the measure of the covering diverges at $n=2$ and falls to $1.693$ at $n=3$ and $0.109$ at $n=6$、null to measure and almost everything to category (Section 5).

Sixth, there is a third sense of small. The middle-thirds Cantor set has measure zero and Hausdorff dimension $0.630929753571$, which is not zero (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/176/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/176 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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