Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文195 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/195 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22107170）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文195】「安定」は六つの別の言葉であり、分けているのは何を揺らすかである

@misc{yamagishi2026yoi195,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Stable” Is Six Separate Words, and What Separates Them Is What You Perturb},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/195},
  doi = {10.5281/zenodo.22107170},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文185 は「安定」が一語で二つを指すことを書いた。本稿はそこに四つを足し、六つを分けている分離子が何を揺らすかであることを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、「留まる」と「戻る」は別である。中心のまわりでは軌道は半径を $10^{-14}$ の精度で保ち、いくらでも近くに留まるが、一度も近づかない（第2節）。

第二に、「戻る」と「決まった速さで戻る」も別である。$\dot x=-x^3$ では半分になるのに $1.50$、$6.00$、$24.00$、$96.00$ と毎回四倍かかり、実効的な減衰率は $T=10$ の $1.52\times10^{-1}$ から $T=10^{6}$ の $7.25\times10^{-6}$ へゼロに滑り落ちる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。「引き込む」と「留まる」は別である。$\dot\theta=1-\cos\theta$ ではすべての軌道が不動点に収束するのに、$0.001$ の距離から出発した軌道は$3.141380$ まで離れてから帰ってくる。出発点を近づけるほど、遠出は $\pi$ に近づく（第4節）。

第四に、状態を揺らすことと方程式を揺らすことは別である。中心に $\varepsilon$ の摂動を入れると、$\varepsilon=\pm10^{-6}$ という大きさでも符号だけで内巻きと外巻きが決まる（第5節）。

第五に、六つは互いに独立である。鞍点は構造的に安定でリャプノフ不安定、中心はリャプノフ安定で構造的に不安定、どちらの向きの含意も成り立たない（第6節）。

第六に、線形化を囲っている柵は双曲性である。$\dot x=-x^3$ と $\dot x=+x^3$ は線形化が同じ（恒等的にゼロ）なのに、片方は収束し片方は有限時間で無限大に達する（第7節）。

Abstract

Paper 185 wrote that the single word “stable” points at two things. This paper adds four more and shows numerically that what separates all six is what you perturb. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, staying near and coming back are different. Around a centre the orbit holds its radius to one part in $10^{14}$ and stays as close as one likes, and it never once gets closer (Section 2).

Second, coming back and coming back at a rate are also different. For $\dot x=-x^3$ each halving costs $1.50$, $6.00$, $24.00$, $96.00$（four times the last）and the effective decay rate slides from $1.52\times10^{-1}$ at $T=10$ to $7.25\times10^{-6}$ at $T=10^{6}$ (Section 3).

Third, this is the core. Attracting and staying near are different. For $\dot\theta=1-\cos\theta$ every orbit converges to the fixed point, and yet an orbit starting $0.001$ away first travels $3.141380$ away before returning、the closer the start, the closer the excursion comes to $\pi$ (Section 4).

Fourth, perturbing the state and perturbing the equation are different. Adding $\varepsilon$ to a centre, a perturbation of size $\pm10^{-6}$ decides by sign alone whether the orbit spirals in or out (Section 5).

Fifth, the six are mutually independent. A saddle is structurally stable and Lyapunov unstable; a centre is Lyapunov stable and structurally unstable、neither direction of implication holds (Section 6).

Sixth, the fence around linearisation is hyperbolicity. $\dot x=-x^3$ and $\dot x=+x^3$ have the same linearisation (identically zero), and one converges while the other reaches infinity in finite time (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/195/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/195 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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