Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文199 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/199 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22108396）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文199】帰ってこられるかを決めているのは、分母の指数である

@misc{yamagishi2026yoi199,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Decides Whether You Come Home Is the Exponent in the Denominator},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/199},
  doi = {10.5281/zenodo.22108396},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

格子の上をでたらめに歩く点が出発点に帰ってくるかどうかは、次元だけで決まる。本稿はその境目が一つの分数の分母に立つ指数であることを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、原点に戻る確率はべきで落ち、その指数は次元の半分である。$\log p$ を $\log n$ に対して当てはめると傾きは $-0.498567$、$-0.997134$、$-1.495710$ であり、$-d/2$ と $4.3\times10^{-3}$ 以内で一致した（第2節）。

第二に、決めているのはその和である。$\sum n^{-d/2}$ が発散するのは $d\le2$ のときだけであり、境目は指数がちょうど $1$ になる $d=2$ にある（第3節）。

第三に、更新方程式で初回帰還を厳密に出した。一次元では閉じた形 $1-\binom{2n}{n}/4^n$ と差ゼロで一致し、道具の正しさを先に確かめてある（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。必ず帰るのに、帰るまでの平均時間は無限である。一次元と二次元では打ち切った平均帰還時間が $2N=600$ で $19.5$、$28.0$ と伸び続けるのに、三次元では $6.95$ で落ち着く。三次元で落ち着くのは早く帰るからではなく、大半が二度と帰らないからである（第6節）。

第五に、二次元の「必ず」は計算では見えない。帰還確率を外挿すると一次元は $0.999954$ に達するのに、二次元は $0.853135$ で止まる。収束が対数だからであり、これは計算の失敗ではなく対数の速さそのものである（第7節）。

Abstract

Whether a point wandering at random over a lattice ever returns to where it started is decided by the dimension alone. This paper shows numerically that the dividing line is an exponent standing in a denominator. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the probability of being back at the origin falls like a power, and the power is half the dimension. Fitting $\log p$ against $\log n$ gives slopes of $-0.498567$, $-0.997134$ and $-1.495710$, agreeing with $-d/2$ to within $4.3\times10^{-3}$ (Section 2).

Second, what decides is the sum of those probabilities. $\sum n^{-d/2}$ diverges exactly when $d\le2$, and the boundary sits at $d=2$, where the exponent is exactly $1$ (Section 3).

Third, the first-return probabilities were obtained exactly by the renewal equation. In one dimension they agree with the closed form $1-\binom{2n}{n}/4^n$ with zero difference, so the tool was verified before use (Section 4).

Fourth, this is the core. Return is certain and the mean time to return is infinite. In one and two dimensions the truncated mean return time keeps climbing, reaching $19.5$ and $28.0$ by $2N=600$, while in three dimensions it settles at $6.95$、and it settles there not because the walk comes back quickly but because most walks never come back at all (Section 6).

Fifth, the certainty in two dimensions cannot be seen by computing. Extrapolating the return probability reaches $0.999954$ in one dimension and stops at $0.853135$ in two、because the approach is logarithmic, which is not a failure of the computation but the speed of a logarithm (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/199/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/199 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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