Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文205 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/205 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22110143）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文205】最も短い囲いは、いつも円板とはかぎらない

@misc{yamagishi2026yoi205,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Shortest Enclosure Is Not Always a Disc},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/205},
  doi = {10.5281/zenodo.22110143},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

同じ面積を最も短い周長で囲む形は、平面では円板である。本稿は、平らなトーラスでは答が途中で帯に変わることを示し、その境目で降下法が働かなくなることを数で測る。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、境目は閉じた形で書ける。面積 $A$ の円板の周長は $2\sqrt{\pi A}$、帯の周長は $A$ によらず $2$ であり、二つが交わるのは $A=1/\pi=0.3183098862$ ちょうどである（第2節）。

第二に、道具を先に検証した。周長を下げる流れに円板と帯を入れると、どちらも動かない。変化は $-2.16\times10^{-4}$ と $+3.33\times10^{-15}$ であった（第3節）。

第三に、境目から離れていれば流れは正しく答える。面積 $0.15$ では $12$ 回の最良が $1.3811$（円板は $1.3729$）、面積 $0.45$ では $2.0189$（帯は $2.0000$）である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。境目の近くでは、降下法が答を選べない。見分けるべき差は面積 $0.30$ で $0.0584$、$0.34$ で $0.0670$ しかないのに、$12$ 回の結果の散らばりは $1.1535$ と $0.9378$ である。散らばりが差の十五倍から二十倍である（第5節）。

第五に、切り替えは二つある。面積が $1-1/\pi=0.681690$ を超えると、今度は穴のほうが円板になる。答は $1/2$ を軸に対称である（第6節）。

Abstract

The shape enclosing a given area with the shortest boundary is, in the plane, a disc. This paper shows that on a flat torus the answer changes partway to a band, and measures numerically that at the threshold a descending method stops working. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the threshold has a closed form. A disc of area $A$ has perimeter $2\sqrt{\pi A}$ and a band has perimeter $2$ whatever $A$ is, and the two cross at exactly $A=1/\pi=0.3183098862$ (Section 2).

Second, the tool was verified first. Feeding a disc and a band into a perimeter-decreasing flow, neither moves、the changes are $-2.16\times10^{-4}$ and $+3.33\times10^{-15}$ (Section 3).

Third, away from the threshold the flow answers correctly. At area $0.15$ the best of $12$ runs is $1.3811$ against a disc at $1.3729$, and at area $0.45$ it is $2.0189$ against a band at $2.0000$ (Section 4).

Fourth, this is the core. Near the threshold a descending method cannot choose. The gap to be resolved is only $0.0584$ at area $0.30$ and $0.0670$ at $0.34$, while the spread of $12$ runs is $1.1535$ and $0.9378$、the spread is fourteen to twenty times the gap (Section 5).

Fifth, there are two switches. Past area $1-1/\pi=0.681690$ it is the hole that becomes a disc、the answer is symmetric about a half (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/205/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/205 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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