Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文238 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/238 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22129257）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文238】「正則」は三つあり、複素平面では一回微分できれば無限回である

@misc{yamagishi2026yoi238,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Regular” Is Three Things, and in the Complex Plane One Derivative Gives Infinitely Many},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/238},
  doi = {10.5281/zenodo.22129257},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文233 は、全方向に微分係数があっても全微分は無いことを示した。本稿はその逆側を測る。方向についての要求を一段だけ強めると、無限回の微分可能性と解析性が丸ごと付いてくる体系がある。そして同じ「正則」という語が、三つの別のことを指している。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、実数直線では一回と二回が別である。$f(x)=x|x|$ の二階差分商は右から $+2$、左から $-2$ で、$h$ をどれだけ縮めても近づかない（第2節）。

第二に、実数直線では無限回微分できても解析的でない。$g(x)=e^{-1/x^2}$ は $g(0.1)/h^{10}=3.72\times10^{-34}$、$g(0.1)/h^{20}=3.72\times10^{-24}$ とどの冪より速く消える。よってすべての導関数が $0$、テイラー級数は恒等的に $0$、それでも $g(0.5)=1.83\times10^{-2}$ である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。複素平面では円周上の値だけからすべての階数の導関数が読める。$e^z$ について $n=0$ から $6$ まで、コーシーの公式が返す値と厳密値の差は $1.24\times10^{-16}$ から $7.85\times10^{-14}$ であった（第4節）。

第四に、最大値はつねに境界にある。単位円板上の $|e^z|$ は内部で $2.711477622183$、境界で $\mathbf{2.718281828459}$（$=e$）である。だから境界の無いコンパクトな面の上では、正則関数は定数しかない（第5節）。

第五に、偏微分方程式の「正則性」は第三の語である。$-u”=f$ で $f$ が滑らかなら $u”$ の隣接差は $0.001571$、$f$ が一箇所で跳べば $\mathbf{1.000000}$ 跳ぶ（第6節）。

Abstract

Paper 233 showed that a derivative in every direction does not give a total derivative. This paper measures the other side: strengthen the demand about direction by one step and infinite differentiability and analyticity arrive together, unasked. And the one word “regular” names three different things. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, on the real line once does not give twice. For $f(x)=x|x|$ the second difference quotient is $+2$ from the right and $-2$ from the left, and shrinking $h$ never brings them together (Section 2).

Second, on the real line infinitely differentiable does not give analytic. For $g(x)=e^{-1/x^2}$ the ratios $g(0.1)/h^{10}=3.72\times10^{-34}$ and $g(0.1)/h^{20}=3.72\times10^{-24}$ show it beats every power、so every derivative at $0$ vanishes, the Taylor series is identically $0$, and yet $g(0.5)=1.83\times10^{-2}$ (Section 3).

Third, and this is the core. In the complex plane the values on a circle alone give every derivative. For $e^z$ and $n$ from $0$ to $6$, Cauchy’s formula differed from the exact value by between $1.24\times10^{-16}$ and $7.85\times10^{-14}$ (Section 4).

Fourth, the maximum always sits on the boundary. On the unit disc $|e^z|$ reaches $2.711477622183$ inside and $\mathbf{2.718281828459}$, which is $e$, on the boundary、so on a compact surface without boundary the only holomorphic functions are constants (Section 5).

Fifth, “regularity” in partial differential equations is a third word. For $-u”=f$ a smooth source leaves neighbouring values of $u”$ differing by $0.001571$, and a source with one jump leaves them differing by $\mathbf{1.000000}$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/238/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/238 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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