Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文251 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/251 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22161063）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文251】「二次元だけ特別」は、一つの現象ではない

@misc{yamagishi2026yoi251,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Special in Two Dimensions Is Not One Phenomenon},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/251},
  doi = {10.5281/zenodo.22161063},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系には「二次元だけ特別」が何度も現れる。論文249 の「二次元では定常の吸収が存在しない」、論文247 のホイヘンス、そして調和関数の共形不変性。本稿が問うのは、それらが同じ根なのかである。答は、二つは同根で、一つは d=2 の話ですらなかった。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、平均値の性質は厳密に成り立つ。三次元で $1/|x-p|$ の球面平均と中心の値の差は、$R$ を $0.5$ から $1.9$ まで動かして $\mathbf{4\times 10^{-16}}$ 以下であった（第3節）。

第二に、破れ方も式どおりである。調和でない関数では、ずれがちょうど $R^2\Delta u/(2d)$ になる。$d=5$ で $\mathbf{2.890000000000}$、式の値と一致した（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。反転だけで調和性が保たれるのは、$d=2$ のときだけである。因子を掛けずに $x\mapsto x/|x|^2$ で引き戻すと、$d=2$ ではラプラシアンが $\mathbf{-4.2\times 10^{-7}}$、すなわちゼロなのに、$d=3$ では $\mathbf{-1.728}$ になる。因子 $r^{2-d}$ を掛けると $d=3$ でも $-5.6\times 10^{-7}$ に戻る（第4節）。

第四に、同じ $d-2$ が三つの場所に出ている。基本解の指数 $2-d$、ケルビン変換の因子 $r^{2-d}$、ラプラシアンの共形重み $(d-2)/2$：三つとも $d=2$ で消える（第5節）。

第五に、ホイヘンスはここに入らない。波が尾を引くのは $d=1$ とすべての偶数次元であり、$\mathbf{d=2}$ に固有の話ではない。偶奇の話が $d=2$ にも当たっただけである（第6節）。

第六に、論文1 の $n=d-1$ は $d=2$ で退化しない。$n=1$ というごく普通の値であり、消えるのは一階微分ぶん違うポテンシャルの指数のほうである（第7節）。

Abstract

Special in two dimensions appears again and again in this body of work: the absence of a steady absorber in Paper 249, the Huygens principle in Paper 247, and the conformal invariance of harmonic functions.This paper asks whether they share a root: and finds that two of them do, while one was not about $d=2$ at all.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the mean value property holds exactly.In three dimensions the spherical mean of $1/|x-p|$ differs from the value at the centre by at most $\mathbf{4\times 10^{-16}}$, for radii from $0.5$ to $1.9$(Section 3).

Second, the failure follows a formula.For a function that is not harmonic the discrepancy is exactly $R^2\Delta u/(2d)$: $\mathbf{2.890000000000}$ at $d=5$, matching the formula(Section 3).

Third, this is the core.Inversion alone preserves harmonicity only at $d=2$.Pulling back by $x\mapsto x/|x|^2$ with no factor gives a Laplacian of $\mathbf{-4.2\times 10^{-7}}$ at $d=2$, that is zero, and $\mathbf{-1.728}$ at $d=3$: multiplying by $r^{2-d}$ restores $-5.6\times 10^{-7}$ at $d=3$(Section 4).

Fourth, one and the same $d-2$ appears in three places.The exponent $2-d$ of the fundamental solution, the factor $r^{2-d}$ of the Kelvin transform, and the conformal weight $(d-2)/2$ of the Laplacian: all three vanish at $d=2$(Section 5).

Fifth, Huygens does not belong here.A wave leaves a tail at $d=1$ and in every even dimension, so it is not specific to $d=2$: a statement about parity that happens to include $d=2$(Section 6).

Sixth, the exponent $n=d-1$ of Paper 1 does not degenerate at $d=2$.It is simply $1$, and what vanishes is the exponent of the potential, one derivative away(Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/251/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/251 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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