Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文870 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/870 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月7日 9:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi870,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Splitting Into Groups Comes in Two Kinds, and Arranging Each Group in a Cycle Changes Even the Most Common Number of Groups},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/870},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「$7$ 人を三つの組に分ける方法は何通りか」は、一つの問いに見える。本稿は、組の中に回る順を認めるかどうかで数が二つに分かれ、いちばん多い組の数まで変わることを、全部数えて確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、分ける数は二つある。組に分けるだけの数（第二種スターリング数）と、組の中を輪に並べる数（第一種スターリング数）を数え上げ、二つの漸化式と $n\le7$ のすべての組の数で一致させた（第2節）。

第二に、合計は桁が違う。$7$ 個で、分けるだけの合計はベル数 $877$、輪に並べる合計は $7!=5040$ で、比は $\mathbf{5.746864}$ である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。いちばん多い組の数まで変わる。分けるだけなら $4$ 組が $350$ 通りでいちばん多く、輪に並べるなら $2$ 組が $1764$ 通りでいちばん多い（第3節）。

第四に、平均の組の数も違う。無作為に一つ選ぶと、組の数の平均は分けるだけで $\mathbf{3.720639}$、輪に並べると $2.592857$ で、後者は調和数 $H_7$ と差 $10^{-12}$ 未満で一致した（第3節）。

第五に、輪の数は偶奇を決める。並べ替えを輪に分けたとき、$7$ から輪の数を引いた数が偶数なら偶置換で、その個数は $5040$ のちょうど半分の $2520$ である（第4節）。

第六に、分離子は、組の中身だけを見るか、組の中の回る順まで見るかである。回る順を認めると大きい組ほど並べ方が増え、少ない数の大きい組が有利になる（第5節）。

キーワード：スターリング数、ベル数、巡回置換、調和数、偶置換

Abstract

“How many ways can $7$ people be split into three groups?” looks like one question.This paper checks, by counting everything, that allowing an order around each group splits the count into two and changes even the most common number of groups.No new theorem or law is claimed.

First, there are two ways to count splittings: the number of plain splittings (Stirling numbers of the second kind) and of splittings with each group in a cycle (Stirling numbers of the first kind) were enumerated and matched with both recurrences for every number of groups with $n\le7$ (Section 2).

Second, the totals differ in magnitude: for $7$ items the plain total is the Bell number $877$ and the cycle total is $7!=5040$, a ratio of $\mathbf{5.746864}$ (Section 2).

Third, and this is the core. Even the most common number of groups changes: when only splitting, $4$ groups is most common with $350$ ways; when arranging in cycles, $2$ groups is most common with $1764$ ways (Section 3).

Fourth, the mean number of groups differs too: for a random choice the mean is $\mathbf{3.720639}$ when only splitting and $2.592857$ with cycles, the latter matching the harmonic number $H_7$ within $10^{-12}$ (Section 3).

Fifth, the number of cycles decides parity: a permutation split into cycles is even when $7$ minus the number of cycles is even, and there are exactly half of $5040$, namely $2520$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one looks only at the contents of each group or also at the order around it: allowing an order around each group multiplies the arrangements of large groups, favouring fewer, larger groups (Section 5).

Keywords: Stirling numbers, Bell numbers, cycle decomposition, harmonic number, even permutation

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/870/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/870 はいつも最新の版を指します）。

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