Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

回転する海には、特徴的な長さが複数ある。どれも「コリオリで決まる長さ」と呼ばれる。本稿が問うのは、それらは同じものかである。答は、別のものである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、三つの長さを並べる。緯度 $45^\circ$ で、エクマン層 $\mathbf{43.75}$ m、傾圧変形半径 $\mathbf{48.48}$ km、順圧変形半径 $\mathbf{1920.86}$ km（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。最小と最大は $\mathbf{4.3905\times10^{4}}$ 倍ひらいており、どれもコリオリ因子 $f$ を含むのに、$f$ 以外の要素が全部違う（第2節）。

第三に、傾圧と順圧を分けているのは深さではない。比は $\mathbf{39.6182}$ 倍で、決めているのは成層 $N$ である（第3節）。

第四に、回転が効くかどうかは一つの数が決める。ロスビー数 $Ro=U/(fL)$ で、メキシコ湾流 $0.0970$、台風 $0.5818$（第4節）。

第五に、風呂の渦は $Ro=3232$ である。コリオリより $3232$ 倍強い力が回している（第5節）。

第六に、分離子は $Ro$ である。風呂でコリオリを見るには、流速を $\mathbf{0.031}$ mm/s 以下にせねばならない（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。エクマン層、ロスビー変形半径、ロスビー数、地衡流平衡は、いずれも標準的である。海洋力学を作らない。使うのは三つの長さの式と、一つの無次元数だけである。エクマン螺旋を導出しない。境界層方程式には立ち入らない。力の点呼をしない。遠心力、コリオリ力、圧力傾度力の分類は扱わない。本稿は長さの点呼である。代表値の精度を主張しない。渦粘性 $A_z=0.01$ $\mathrm{m^2/s}$、成層 $N=0.005$ /s、深さ $H=1000$／$4000$ m は桁を示すための代表値であり、場所と季節で一桁動く。とくに $A_z$ は $10^{-4}$ から $10^{-1}$ まで動く。風呂の渦の値を主張しない。$U=0.1$ m/s、$L=0.3$ m は典型的な排水渦の代表値である。$Ro=3232$ という値ではなく、$Ro\gg1$ という事実が本稿の主張である。排水渦の回転向きを説明しない。何が実際に向きを決めているか（初期の残留渦、容器の形、抜き方）は扱わない。コリオリでないことだけを示す。既刊との関係：論文256 は力学相似が厳密に成り立つ縮尺が $1$ だけだと示した。本稿の $Ro$ も縮尺を変えると保てない無次元数であり、風呂は海の模型になれない。論文117 はスケール不変性が四通りに指数を選ぶことを扱い、$\Pi$ 群がちょうど一つという条件を書いた。本稿はその条件を満たさない場合であり、三つの長さが独立に立つ。論文140 は対称性が比を決め力学が尺度を決めると分けた。本稿の三つの長さはどれも力学の側である。論文112 は「同じ韻の別根」を数えた。三つの長さは$f$ という韻を共有し、根が違う。加えたのは三つの長さを一表に並べて $4.3905\times10^{4}$ 倍の開きを測ったこと、傾圧と順圧の比 $39.6182$ を決めているのが成層だと確かめたこと、五つの現象のロスビー数を計算したこと、風呂で回転を見るのに要る流速 $0.031$ mm/s を出したことである。

1. 記法と、一つの因子

設定：回転する地球の上では、コリオリ因子

$$f=2\Omega\sin\varphi$$

がどの式にも現れる（$\Omega$ は自転角速度、$\varphi$ は緯度）。

検算 1.1：緯度 $45^\circ$ で。

問い：$f$ が入っている長さは、みな同じものか。

2. 芯：三つの長さが $4.39\times10^{4}$ 倍ひらく

検算 2.1：同じ海の、同じ緯度で三つの長さを出す。

観察 2.2　これが本稿の芯である。最小と最大は $\mathbf{4.3905\times10^{4}}$ 倍ひらいている。$44$ メートルから $1900$ キロメートルまでが、同じ一つの海の「コリオリで決まる長さ」である。

検算 2.3：$f$ 以外に何が入っているかを書き出す。

観察 2.4　右の二列が一つも重なっていない。粘性・成層・重力はたがいに独立である。共有しているのは $f$ だけである。

検算 2.5：$f$ への依存の仕方も違う。

観察 2.6　エクマン深さだけ指数が違う。緯度を変えると三つの長さの比そのものが変わる。どれか一つを測っても、他の二つは分からない。

観察 2.7　論文112 は「同じ韻を踏む六つの別根」を数えた。三つの長さは$f$ という韻を共有し、根はまったく別である。同じ因子が入っていることは、同じ現象であることを意味しない。

3. 傾圧と順圧を分けているのは、深さではない

検算 3.1：二つの変形半径の比を取る。

観察 3.2　比の中で $f$ が約分されて消える。したがって緯度を変えても、二つの比は変わらない。分けているのは回転ではない。

検算 3.3：成層 $N$ を動かしてみる。

観察 3.4　$N$ を二倍にすると、比が半分になる。決めているのは深さではなく成層である。海が層に分かれている度合いが、この $39.6$ 倍を作っている。

観察 3.5　もし海が完全に混ざっていれば（$N=0$）、傾圧変形半径は $0$ になる。そのとき残るのは順圧の一つだけ、三つの長さのうち一つは、成層があるからこそ存在する。

4. 回転が効くかどうかは、一つの数が決める

設定：ロスビー数 $Ro=U/(fL)$ は、慣性力とコリオリ力の比である。$Ro\ll1$ なら回転が支配し、$Ro\gg1$ なら回転は無関係である。

検算 4.1：

観察 4.2　メキシコ湾流と大気の高気圧が偶然ほぼ同じ $0.0970$ である。速さが $10$ 倍、大きさも $10$ 倍なので、比が同じになる。$Ro$ は $U$ と $L$ の比しか見ていない。

観察 4.3　台風は $0.5818$ で、$1$ に近い。回転は効くが支配的ではない。だから台風の中心付近では地衡流平衡が崩れ、傾度風平衡という別の釣り合いに移る。

5. 芯の続き：風呂の渦は $Ro=3232$ である

観察 5.1　風呂の排水渦は $Ro=\mathbf{3232.29}$ である。コリオリより $3232$ 倍強い力が回している。初期の残留した渦、容器の形の非対称、栓を抜く動作である。

検算 5.2：では、どうすれば見えるか。$Ro<1$ にするには $U<fL$ である。

観察 5.3　風呂でコリオリを見るには、流速を $\mathbf{0.031}$ mm/s 以下にせねばならない。実際の排水渦は約 $100$ mm/s、$3232$ 倍速すぎる。

観察 5.4　$3232$ という同じ数が二度出るのは偶然ではない。$Ro$ の定義そのものだからである。だが「$3232$ 倍速すぎる」と書き直すと、何が要るかが分かる。

観察 5.5　実際、この実験は成功している。直径 $1.8$ m の水槽で $18$ 時間以上静置し、ごくゆっくり抜けば、コリオリの向きが出る。$18$ 時間という時間が、慣性周期 $16.92$ 時間とほぼ同じであることに注意する。

観察 5.6　分離子、何を動かすと、回転が効くようになるか。$U/L$ を $f$ より小さくすることである。容器を大きくするか、流れを遅くするか、緯度を変えても $f$ は高々 $\sqrt2$ 倍しか動かないので、そちらでは埋まらない。

観察 5.7　論文256 は力学相似が厳密に成り立つ縮尺が $1$ だけだと示した。風呂と海は$Ro$ が $3.3\times10^{4}$ 倍違う。風呂は海の模型になれない。

6. 点呼と結び

1. $f=1.0313\times10^{-4}$ /s（検算1.1）：慣性周期 $16.9242$ 時間。
2. エクマン層 $43.75$ m（検算2.1）：摩擦の層。
3. 傾圧変形半径 $48.48$ km（検算2.1）：密度の層。
4. 順圧変形半径 $1920.86$ km（検算2.1）：自由表面。
5. 開きは $4.3905\times10^{4}$ 倍（観察2.2）：同じ海の同じ緯度。
6. $f$ 依存の指数が違う（検算2.5）：エクマンだけ $f^{-1/2}$。
7. 順圧$/$傾圧 $=39.6182$（検算3.1）：$f$ が約分される。
8. $N$ を二倍で比は半分（検算3.3）：決めているのは成層。
9. 風呂の渦 $Ro=3232.29$（検算4.1）：回転は無関係。
10. 要る流速 $0.031$ mm/s（検算5.2）：実際の $3232$ 分の一。

結び：同じ海の同じ緯度に、三つの「コリオリで決まる長さ」がある。エクマン層 $\mathbf{43.75}$ m、傾圧変形半径 $\mathbf{48.48}$ km、順圧変形半径 $\mathbf{1920.86}$ km、$\mathbf{4.3905\times10^{4}}$ 倍ひらいている。どれもコリオリ因子 $f$ を含むが、$f$ 以外の要素は一つも重なっていない。粘性、成層、重力である。$f$ への依存の指数さえ違う。エクマン深さだけが $f^{-1/2}$ で、緯度を変えると三つの比そのものが変わる。傾圧と順圧を分けているのは深さではなく成層である。比の中で $f$ が約分され、$N$ を二倍にすると $39.6$ 倍が $19.8$ 倍になる。そして回転が効くかどうかは、ロスビー数 $Ro=U/(fL)$ という一つの数が決める。メキシコ湾流 $0.0970$、台風 $0.5818$、そして風呂の渦は $\mathbf{3232.29}$。分けるものは一つ、$U/L$ が $f$ より小さいかどうか。風呂でコリオリを見るには流速を $\mathbf{0.031}$ mm/s 以下にせねばならず、実際の排水渦はその $\mathbf{3232}$ 倍速い。緯度を変えても $f$ は高々 $\sqrt2$ 倍しか動かないので、そちらでは埋まらない。

参考文献

1. Ekman, V. W. (1905). On the Influence of the Earth’s Rotation on Ocean-Currents. Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 2(11).
2. Rossby, C.-G. (1938). On the Mutual Adjustment of Pressure and Velocity Distributions in Certain Simple Current Systems II. Journal of Marine Research, 1(3).
3. Gill, A. E. (1982). Atmosphere-Ocean Dynamics. New York: Academic Press.
4. Pedlosky, J. (1987). Geophysical Fluid Dynamics. New York: Springer.
5. Shapiro, A. H. (1962). Bath-Tub Vortex. Nature, 196(4859).
6. Trefethen, L. M. et al. (1965). The Bath-Tub Vortex in the Southern Hemisphere. Nature, 207(5001).
7. 山岸勇輝 (2026). 割り当てられた領域と、その中の自由、同じ韻を踏む六つの別根のセンサス [論文112]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21962834
8. 山岸勇輝 (2026). スケール不変性は、四通りに指数を選ぶ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
9. 山岸勇輝 (2026). 対称性は比を決め、力学は尺度を決める [論文140]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081997
10. 山岸勇輝 (2026). 力学相似が厳密に成り立つ縮尺は、$1$ だけである [論文256]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22168919

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「同じ海に三つの長さがあり、4.3910^4 倍ひらいている」［論文291］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22171479

@misc{yamagishi2026yoi291,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One Sea Holds Three Lengths, Spanning a Factor of 4.39×10⁴},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/291},
  doi = {10.5281/zenodo.22171479},
  note = {Preprint, edition 1}
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