Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

メルカトル図法は高緯度を大きく見せる、と批判される。本稿が示すのはどの投影法でも歪むことである。原因は投影法ではなく、曲がった面を平らにできないことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、メルカトルは緯度 $60$ 度で長さちょうど $\mathbf{2}$ 倍、面積ちょうど $\mathbf{4}$ 倍になる（第2節）。

第二に、緯度 $80$ 度では面積が $\mathbf{33.1634}$ 倍になる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。歪みの原因は投影法ではない。球のガウス曲率が $1/R^{2}$、平面が $0$ で、値が違うからである（第3節）。

第四に、$100$ 万 km$^{2}$ の球面三角形は内角の和が $\mathbf{1.4113}$ 度余り、平面ではちょうど $\mathbf{0}$ である（第3節）。

第五に、一辺 $100$ km なら余りが $\mathbf{0.0071}$ 度に縮む。歪みは規模で決まる（第4節）。

第六に、分離子は「投影法を変えれば直るか、規模を変えなければ直らないか」である（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ガウスの驚異の定理、ジラールの定理、メルカトル図法の拡大率はすべて既知である。定理を証明しない。驚異の定理もジラールの定理も既知として使う。数を入れるだけである。投影法を設計しない。どの投影法が良いかは主題ではない。歪みが避けられないことだけを言う。地球を球と置いている。扁平（$1/298$）は主題ではない。定性的な結論は変わらない。政治を論じない。どの図法をどう使うべきかという議論は主題ではない。測地線を扱わない。大圏航路や航程線の性質は主題ではない。既刊との関係：論文397 は破れが理論強度に達したからではないことを示した。ここでは歪みが投影法の下手さから来ていない。論文389 は厚さではなく長さが効くことを示した。ここでは投影法ではなく曲率が効く。論文326 は二乗三乗の「法則」が恒等式であることを示した。ここでも「歪む」は選択の結果ではなく幾何の帰結である。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。投影法による歪みと曲率による歪みは、その基準で別根である。加えたのは、五つの緯度でメルカトルの拡大率を数に出したこと、アフリカとグリーンランドの実面積比を出したこと、球面三角形の過剰を $100$ 万 km$^{2}$ と一辺 $100$ km で計算したこと、平面の過剰がちょうど $0$ であることを対照に置いたこと、分離子を「投影法か規模か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：メルカトル図法では、緯度 $\varphi$ での長さの拡大率が $\sec\varphi$、面積の拡大率が $\sec^{2}\varphi$ になる。 また球面三角形では、内角の和が $\pi$ を超える分（球面過剰）が面積に比例する（ジラールの定理）。

$$E=\frac{A}{R^{2}}$$

$R=6371$ km とする。

観察 1.1　メルカトルの拡大率は緯度だけで決まる。$\sec\varphi$、赤道で $1$、極で発散する。

観察 1.2　他の投影法を使えば、この拡大率は消える。正積図法なら面積が正しい。代わりに角度が歪む。

観察 1.3　どれかを直すと、どれかが壊れる。選べるのはどこを歪ませるかだけ、その理由が、曲率にある。

問い：地図が歪むのは、投影法のせいか。

2. 緯度 $60$ 度で面積ちょうど $4$ 倍

計算 2.1：メルカトル図法の拡大率（本稿で計算）。

観察 2.2　緯度 $60$ 度で長さがちょうど $2$ 倍、面積がちょうど $4$ 倍になる。$\sec60^{\circ}=2$、切りのいい数が出るのは、$\cos60^{\circ}=1/2$ だからである。

観察 2.3　緯度 $45$ 度で面積がちょうど $2$ 倍になる。$\sec^{2}45^{\circ}=2$、中緯度でもすでに二倍である。

観察 2.4　緯度 $80$ 度では $33.1634$ 倍になる。グリーンランドの大半がこの緯度帯、アフリカ（赤道帯）は $1$ 倍のままである。

観察 2.5　実際の面積はアフリカがグリーンランドの $14.0212$ 倍である。$3.037\times10^{7}$ km$^{2}$ 対 $2.166\times10^{6}$ km$^{2}$、メルカトル上ではほぼ同じ大きさに見える。

観察 2.6　この歪みは、正積図法を使えば消える。選べる。だから「投影法のせい」に見える。

3. 原因は曲率である。平面では過剰がちょうど $0$

計算 3.1：球面三角形の内角の和の過剰（本稿で計算）。

観察 3.2　これが本稿の芯である。球面では内角の和が $1.4113$ 度余り、平面ではちょうど $0$ である。この差は、どんな写像でも埋められない。ガウス曲率は曲げ方に依らない量だからである（驚異の定理）。

観察 3.3　円柱と円錐は曲率が $0$ である。曲がって見えるのに、だから紙から作れるし、切り開いて平らにできる。

観察 3.4　球は $1/R^{2}>0$ である。$0$ ではない。だから紙から作れないし、平らにもできない。

観察 3.5　つまり「歪まない地図」は、投影法の問題ではなく、存在の問題である。探しても無い。どれだけ工夫しても、$1/R^{2}$ を $0$ にはできない。

観察 3.6　論文326 と同じ形である。論文326 では二乗三乗の「法則」が恒等式だった。ここでは「歪む」が選択の結果ではなく、幾何の帰結である。

4. 歪みの大きさは、規模で決まる

計算 4.1：規模による球面過剰（本稿で計算）。

観察 4.2　過剰は面積に比例する。$E=A/R^{2}$、面積が $200$ 分の $1$ なら過剰も $200$ 分の $1$。

観察 4.3　一辺 $100$ km では $0.0071$ 度である。$25$ 秒角、測量の精度では見えるが、地図の見た目では見えない。

観察 4.4　だから小縮尺の地図では「平ら」でよい。市町村の地図、曲率がゼロでないことと、無視できないことは別である。

観察 4.5　論文396 と同じ形である。論文396 では「小さい角」に数を入れた。ここでは「小さい地域」に数を入れる。どちらも、どこまでが「小さい」かは要求精度が決める。

観察 4.6　論文300 の基準で別根である。投影法による歪みは選択が、曲率による歪みは幾何が決める。同じ「地図の歪み」に、根の違う二つが並んでいる。

5. 分離子：投影法を変えれば直るか、直らないか

観察 5.1　分離子、別の投影法で消えるか、消えないか。

観察 5.2　三列目が判定になる。投影法を変えて消えるか、消えなければ、投影法を責めても直らない。

観察 5.3　メルカトルへの批判は、一行目についてだけ正しい。面積は確かに歪む、だが角度を保つという役目は果たしており、航海図としてはそれが要る。

観察 5.4　分離子は動かせる。地域を小さくすれば、二行目の歪みも実質的に消える。曲率は変わらないが、面積が小さくなる。

観察 5.5　正直に言えば、$1.4113$ 度も $33.1634$ 倍も、地球を完全な球と置いた値である。扁平（$1/298$）を入れれば少し動く。動かないのは、球の曲率が正で平面が $0$ であることと、その差が写像で消えないことである。

観察 5.6　最後に一つ、「もっと良い投影法を作ればよい」は、良い投影法がある場合にだけ正しい。面積を直す投影法はある。全部を直す投影法は無い。無いことは、探し方の問題ではない。

6. 点呼と結び

1. 緯度 $60$ 度で長さ $2$ 倍・面積 $4$ 倍（計算 2.1）：$\cos60^{\circ}=1/2$。
2. 緯度 $45$ 度で面積 $2$ 倍（観察 2.3）：中緯度でもすでに。
3. 緯度 $80$ 度で $33.1634$ 倍（計算 2.1）：グリーンランドの緯度帯。
4. アフリカは実際に $14.0212$ 倍（観察 2.5）：地図ではほぼ同じ。
5. 球のガウス曲率は $2.4636\times10^{-14}$ /m$^{2}$（計算 3.1）：平面は $0$。
6. $100$ 万 km$^{2}$ で過剰 $1.4113$ 度（計算 3.1）：平面ではちょうど $0$。
7. 円柱・円錐は曲率 $0$（観察 3.3）：だから紙から作れる。
8. 一辺 $100$ km で $0.0071$ 度（計算 4.1）：$25$ 秒角。
9. 過剰は面積に比例（観察 4.2）：規模で決まる。
10. 全部を直す投影法は無い（観察 5.6）：探し方の問題ではない。

結び：メルカトル図法は高緯度を大きく見せる、と批判される。だが原因は投影法ではない。メルカトルの拡大率は緯度だけで決まる。緯度 $60$ 度で長さちょうど $\mathbf{2}$ 倍、面積ちょうど $\mathbf{4}$ 倍。切りのいい数が出るのは $\cos60^{\circ}=1/2$ だからである。緯度 $45$ 度でも面積はすでに $2$ 倍、$80$ 度では $\mathbf{33.1634}$ 倍になる。実際の面積はアフリカがグリーンランドの $\mathbf{14.0212}$ 倍（$3.037\times10^{7}$ 対 $2.166\times10^{6}$ km$^{2}$）だが、メルカトル上ではほぼ同じ大きさに見える。そしてこの歪みは正積図法を使えば消えるので、「投影法のせい」に見える。ところが原因は曲率である。球面上の $100$ 万 km$^{2}$ の三角形は内角の和が $\mathbf{1.4113}$ 度余り、平面ではちょうど $\mathbf{0}$ である。この差はどんな写像でも埋められない。ガウス曲率は曲げ方に依らない量だからである（驚異の定理）。円柱と円錐は曲がって見えても曲率が $0$ なので、紙から作れるし切り開いて平らにできる。球は $1/R^{2}>0$ なので、紙から作れないし平らにもできない。つまり「歪まない地図」は投影法の問題ではなく存在の問題で、どれだけ工夫しても $1/R^{2}$ を $0$ にはできない。論文326 で二乗三乗の「法則」が恒等式だったのと同じ形で、「歪む」は選択の結果ではなく幾何の帰結である。歪みの大きさは規模で決まる。$E=A/R^{2}$ なので過剰は面積に比例し、一辺 $100$ km（$5000$ km$^{2}$）なら $\mathbf{0.0071}$ 度、$25$ 秒角に縮む。測量の精度では見えるが、地図の見た目では見えない。だから市町村の地図では「平ら」でよく、曲率がゼロでないことと無視できないことは別である。論文396 で「小さい角」に数を入れたのと同じ形で、どこまでが「小さい」かは要求精度が決める。分けているものは一つ、別の投影法で消えるか、消えないか。面積の拡大は投影法の選択から来るので消えるが、角度と面積を同時に保つことはガウス曲率から来るので消えない。メルカトルへの批判は前者についてだけ正しく、角度を保つという役目は果たしており、航海図としてはそれが要る。論文300 の基準で別根であり、一方は選択が、一方は幾何が決める。地域を小さくすれば後者も実質的に消える。曲率は変わらないが、面積が小さくなる。正直に言えば、$1.4113$ 度も $33.1634$ 倍も地球を完全な球と置いた値であり、扁平（$1/298$）を入れれば少し動く。動かないのは、球の曲率が正で平面が $0$ であることと、その差が写像で消えないことである。最後に一つ、「もっと良い投影法を作ればよい」は、良い投影法がある場合にだけ正しい。面積を直す投影法はあるが、全部を直す投影法は無い。無いことは、探し方の問題ではない。

参考文献

1. Gauss, C. F. (1828). Disquisitiones generales circa superficies curvas. Göttingen: Dieterich.
2. Girard, A. (1629). Invention nouvelle en l’algèbre. Amsterdam: Blaeuw.
3. Snyder, J. P. (1987). Map Projections: A Working Manual. Washington: U.S. Geological Survey Professional Paper 1395.
4. do Carmo, M. P. (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
5. 山岸勇輝 (2026). 『第三百回の点呼、同根か別根かは判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『二乗三乗の「法則」は、法則ではなく恒等式である』[論文326]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22209992
7. 山岸勇輝 (2026). 『紙が折れなくなるのは厚いからではない。効いているのは長さである』[論文389]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699183
8. 山岸勇輝 (2026). 『振り子の「小さい角」を数にすると、10 度で一日 164.78 秒ずれる』[論文396]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699299
9. 山岸勇輝 (2026). 『「粒を細かくすれば強くなる」が破れるのは、理論強度に達したからではない』[論文397]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699316

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「歪まない地図は存在しない」［論文409］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22699616

@misc{yamagishi2026yoi409,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {There Is No Undistorted Map, and the Projection Is Not to Blame},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/409},
  doi = {10.5281/zenodo.22699616},
  note = {Preprint, edition 1}
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