Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「順位と頻度の積が一定である」という言い方がある。本稿が示すのは、その「一定」が全体を決めないことである。どの順位でも一定なのに、合計は $N$ とともに増え続ける。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、指数 $1$ のとき、順位 $\times$ 頻度は $1$ 位でも $10000$ 位でもちょうど $\mathbf{1.000000}$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。どの順位でも一定なのに、総和は $\mathbf{9.787606}$ で頭打ちしない。$N$ を増やせば増え続ける（第2節）。

第三に、その総和は $\ln N+\gamma=\mathbf{9.787556}$ と差 $\mathbf{0.000050}$ で一致する（第2節）。

第四に、指数 $1.0$ では上位 $1$ パーセントが全体の $\mathbf{52.9995}$ パーセントを占める（第3節）。

第五に、指数を $0.8$ から $1.2$ へ動かすと、その占有率は $0.300046$ から $0.750766$ へ $\mathbf{2.5022}$ 倍変わる（第3節）。

第六に、分離子は「一つの順位を見るか、全体を見るか」である（第4節）。

キーワード：ジップの法則、冪則、調和級数、順位と頻度、裾の重い分布。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ジップの法則、調和級数の発散、冪則の裾はすべて既知である。実データを当てない。どの分野で指数がいくつかという調査は主題ではない。指数は与えられた数として扱う。機構を説明しない。なぜ冪則が現れるのかという議論（優先的選択、最適化、最大エントロピー）は主題ではない。当てはめの手法を論じない。推定量の選び方、裾の切り方、検定は主題ではない。有限の系を無限として扱わない。実際の集合は有限なので総和は必ず有限である。本稿が言うのは「$N$ を増やすと増え続ける」ことであって、無限になるとは言わない。離散と連続を混ぜない。順位は整数であり、積分による近似は $\ln N+\gamma$ の照合にだけ使う。既刊との関係：論文434 は安くしているのが時間でなく累積であることを示した。そこでも冪則が主役だった。ここでは冪の値そのものが全体像を決める。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。「各項が一定」と「合計が決まる」は、その基準で別根である。論文417 は段数の上限が生き物の都合でないことを示した。そこでは等比数列で合計が収束した。ここでは収束しない。論文424 は割ると分母の動きが分子の出来事になることを示した。ここでも、占有率という割合が二つの和の商である。加えたのは、五つの順位で積が一定であることを数に出したこと、総和を $\ln N+\gamma$ と照合したこと、$N$ を増やすと総和が増えることを確かめたこと、三つの指数で上位 $1$ パーセントの占有率を出したこと、占有率の比を $2.5022$ 倍と出したこと、分離子を「一つの順位か、全体か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：順位 $k$ の要素の頻度を次で書く。

$$f(k)\propto\frac{1}{k^{\alpha}}$$

$\alpha=1$ のとき、順位と頻度の積 $k f(k)$ は $k$ に依らず一定になる。 以下 $N=10000$ とし、比例定数を $1$ に取る。

観察 1.1　「順位 $\times$ 頻度が一定」は、強い規則性に聞こえる。どの順位を見ても同じ数が出る。全体が把握できたように感じる。

観察 1.2　だが「一定」は各項についての言明である。一つの $k$ を選んだときの値の話、全部を足したときの値については、何も言っていない。

問い：各項が一定なら、合計は決まるのか。

2. どの順位でも一定で、合計は増え続ける

計算 2.1：$\alpha=1$ として、五つの順位で頻度と積を出す。

観察 2.2　四桁にわたって、まったく同じ値である。ばらつきがゼロ、定義どおりであり、実装が正しいことを示す。

計算 2.3：全部の順位で足す。

総和は $\mathbf{9.787606}$ である。

観察 2.4　この値は $\ln N+\gamma$ と一致する。$\ln10000+0.5772156649=\mathbf{9.787556}$、差は $\mathbf{0.000050}$、独立な既知の近似との突合せである。

観察 2.5　$N$ を $100000$ にすると総和はさらに増える。頭打ちが無い。各項が一定でも、合計は決まらない。

観察 2.6　増え方は対数である。$N$ を $10$ 倍にして総和は $\ln10=2.30$ 増えるだけ、だから「発散する」と「速く増える」も別の話である。

3. 指数を動かすと、全体像が変わる

計算 3.1：指数 $\alpha$ を変えて、上位 $1$ パーセントが占める割合を出す。

観察 3.2　指数 $1.0$ で、上位 $1$ パーセントが半分を超える。$\mathbf{52.9995}$ パーセント、百分の一が半分を持っている。

観察 3.3　指数を $0.8$ から $1.2$ へ動かすと、占有率は $\mathbf{2.5022}$ 倍変わる。$0.30$ から $0.75$ へ、指数の $0.4$ の差が、全体像を作り替える。

観察 3.4　どの場合も「冪則である」ことに変わりは無い。形は同じで、指数だけが違う。だから「冪則が見つかった」だけでは、何も言ったことにならない。

観察 3.5　指数 $1$ は特別な位置にいる。$\alpha>1$ なら総和は収束し、$\alpha\le1$ なら発散する。ちょうど境目に立っている。

4. 分離子

分離子：一つの順位を見るか、全体を見るか。

観察 4.1　一つの順位を見れば、積は一定である。$k$ を選んで $kf(k)$ を計算する。何を選んでも同じ数が出る。

観察 4.2　全体を見れば、合計は $N$ に依る。どこまで数えたかで変わる。同じ規則から、二つの違う性格の量が出る。

観察 4.3　これは論文300 の基準で別根である。どちらも「一定」という語で語られる。一方は各項の性質、一方は和の性質である。

観察 4.4　だから「順位 $\times$ 頻度が一定だから安定している」とは言えない。各項は安定していても、合計は数え方で動く。どこで切るかを決めなければ、総量が決まらない。

観察 4.5　占有率も同じである。上位 $1$ パーセントの占有率は、指数と $N$ の両方に依る。一つの数で「集中している」と言うには、二つを併記する必要がある。

観察 4.6　正直に言えば、実際の集合は有限なので、総和は必ず有限である。本稿が言うのは「$N$ を増やすと増え続ける」ことである。無限になるとは言っていない。

観察 4.7　最後に一つ、増え方が対数であることも大事である。$N$ を $10$ 倍にして $2.30$ しか増えない。「発散する」は「大きい」ではない。二つを混ぜると、どちらも誤解になる。

5. 点呼と結び

1. 順位 $\times$ 頻度は四桁で $1.000000$（計算 2.1）：ばらつきゼロ。
2. 総和は $9.787606$（計算 2.3）：各項一定でも決まらない。
3. $\ln N+\gamma=9.787556$（観察 2.4）：差 $0.000050$。
4. $N$ を増やすと増え続ける（観察 2.5）：頭打ちが無い。
5. 増え方は対数（観察 2.6）：$10$ 倍で $2.30$。
6. 指数 $1.0$ で上位 $1$ % が $52.9995$ %（計算 3.1）：半分超。
7. 指数 $0.8$ では $30.0046$ %（計算 3.1）：薄い。
8. 指数 $1.2$ では $75.0766$ %（計算 3.1）：濃い。
9. 占有率の比は $2.5022$ 倍（観察 3.3）：指数 $0.4$ の差で。
10. 分離子は各項か全体か（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。

結び：「順位 $\times$ 頻度が一定である」は、強い規則性に聞こえる。どの順位を見ても同じ数が出るので、全体が把握できたように感じる。だが「一定」は各項についての言明であって、全部を足したときの値については何も言っていない。実際、各項は一定で、合計は決まらない。指数 $1$ のとき順位 $\times$ 頻度は $1$ 位でも $10000$ 位でもちょうど $\mathbf{1.000000}$ で、四桁にわたってばらつきがゼロである。それでも総和は $\mathbf{9.787606}$ で、$\ln N+\gamma=\mathbf{9.787556}$ と差 $\mathbf{0.000050}$ で一致し、$N$ を増やせば増え続けて頭打ちが無い。ただし増え方は対数で、$N$ を $10$ 倍にして総和は $2.30$ 増えるだけである。「発散する」と「速く増える」も別の話である。そして指数を少し動かすと、全体像が作り替わる。上位 $1$ パーセントの占有率は、指数 $0.8$ で $0.300046$、$1.0$ で $\mathbf{0.529995}$、$1.2$ で $0.750766$ になる。指数 $1.0$ では百分の一が半分を超える量を持ち、$0.8$ から $1.2$ への $0.4$ の差が占有率を $\mathbf{2.5022}$ 倍動かす。どの場合も「冪則である」ことに変わりは無いので、「冪則が見つかった」だけでは何も言ったことにならない。指数 $1$ は特別な位置にいて、$\alpha>1$ なら総和は収束し、$\alpha\le1$ なら発散する。ちょうど境目に立っている。分けているものは一つ、一つの順位を見るか、全体を見るか。一つの順位を見れば積は一定で、何を選んでも同じ数が出る。全体を見れば合計は $N$ に依り、どこまで数えたかで変わる。論文300 の基準で別根であり、どちらも「一定」という語で語られるが、一方は各項の性質、一方は和の性質である。だから「順位 $\times$ 頻度が一定だから安定している」とは言えない。各項は安定していても、どこで切るかを決めなければ総量が決まらない。占有率も同じで、指数と $N$ の両方に依るので、一つの数で「集中している」と言うには二つを併記する必要がある。正直に言えば、実際の集合は有限なので総和は必ず有限である。本稿が言うのは「$N$ を増やすと増え続ける」ことであって、無限になるとは言っていない。最後に一つ、増え方が対数であることも大事である。$N$ を $10$ 倍にして $2.30$ しか増えないので、「発散する」は「大きい」ではない。二つを混ぜると、どちらも誤解になる。

参考文献

1. Zipf, G. K. (1949). Human Behavior and the Principle of Least Effort. Cambridge, MA: Addison-Wesley.
2. Newman, M. E. J. (2005). Power Laws, Pareto Distributions and Zipf’s Law. Contemporary Physics.
3. Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. J. (2009). Power-Law Distributions in Empirical Data. SIAM Review.
4. Simon, H. A. (1955). On a Class of Skew Distribution Functions. Biometrika.
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『食物連鎖の段数に上限があるのは、生き物の都合ではない』[論文417]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699882
7. 山岸勇輝 (2026). 『割ると、分母の動きが分子の出来事になる』[論文424]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22700141
8. 山岸勇輝 (2026). 『安くしているのは、時間ではなく累積である』[論文434]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22708735

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「どの順位でも一定なのに、合計は決まらない」［論文435］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22709070

@misc{yamagishi2026yoi435,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Constant at Every Rank, and the Total Is Still Undetermined},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/435},
  doi = {10.5281/zenodo.22709070},
  note = {Preprint, edition 1}
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