Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文158 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/158 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092143）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文158】内から測れるものは、必ずどこかに住める

@misc{yamagishi2026yoi158,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whatever Can Be Measured from Inside Has a Home Somewhere},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/158},
  doi = {10.5281/zenodo.22092143},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文91 は曲率が内在的である（面の中にいるだけで測れる）と書いた。ナッシュ（1956）はその逆を言う：内在的に定義された計量は、必ずどこかのユークリッド空間に等長に住める。本稿はこの二つを対に置き、双対でありながら別根であることを示す。新しい数学定理は主張しない。

第一に、驚異の定理を検算した。球面・トーラス・円柱について、第一基本形式だけから計算した曲率（ブリオスキの公式）と$\det(\mathrm{II})/\det(\mathrm{I})$ から計算した曲率が、三つとも差ちょうど $0$ で一致した（本稿で記号計算）（第2節）。

第二に、曲げると第二基本形式は動き、第一基本形式は動かない。平面と円柱は第一基本形式がともに $(a^2,0,1)$ で同一、第二基本形式は $(0,0,0)$ と $(-a,0,0)$ で別物、曲率はどちらも $0$（第3節）。

第三に、住所は必ず在る。しかし必要な次元は、要求した滑らかさで動く。$n$ 次元多様体について、滑らかな埋め込み（ホイットニー）は $2n$、$C^1$ 等長（ナッシュ＝クイパー）は $n+1$、$C^k$（$k\ge3$）等長（ナッシュ 1956・コンパクト）は $n(3n+11)/2$、$n=2$ ではそれぞれ $4$、$3$、$17$ である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。平坦トーラスは $C^1$ では住めて、$C^2$ では住めない。$\mathbb{R}^3$ のコンパクトな $C^2$ 曲面は、原点から最も遠い点で必ず $K\ge1/D^2>0$ を満たす。トーラスで四つの形について確かめるとすべて成立した。ゆえに至るところ $K=0$ の平坦トーラスは $\mathbb{R}^3$ に $C^2$ 等長には入らない。それでもナッシュ＝クイパーは $C^1$ の住所を与える（第5節）。

Abstract

Paper 91 wrote that curvature is intrinsic、measurable from inside a surface alone. Nash (1956) says the converse: a metric defined intrinsically can always be realised isometrically inside some Euclidean space. This paper sets the two side by side and shows that they are dual and yet distinct roots. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the Theorema Egregium was checked. For a sphere, a torus and a cylinder, the curvature computed from the first fundamental form alone (Brioschi’s formula) and the curvature computed as $\det(\mathrm{II})/\det(\mathrm{I})$ agreed with a difference of exactly $0$ in all three cases (computed symbolically here) (Section 2).

Second, bending moves the second fundamental form and not the first. A plane and a cylinder have the same first form $(a^2,0,1)$, different second forms $(0,0,0)$ and $(-a,0,0)$, and curvature $0$ in both cases (Section 3).

Third, a home always exists, but the dimension required moves with the smoothness demanded. For an $n$-manifold: a smooth embedding (Whitney) needs $2n$, a $C^1$ isometric one (Nash–Kuiper) needs $n+1$, and a $C^k$ one with $k\ge3$ (Nash 1956, compact) needs $n(3n+11)/2$、at $n=2$ these are $4$, $3$ and $17$ (Section 4).

Fourth, and this is the core. The flat torus has a $C^1$ home and no $C^2$ one. A compact $C^2$ surface in $\mathbb{R}^3$ satisfies $K\ge1/D^2>0$ at the point farthest from the origin, and this was verified for four shapes of torus, holding in every case. So a flat torus, with $K=0$ everywhere, admits no $C^2$ isometric embedding there、and yet Nash–Kuiper gives it a $C^1$ one (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/158/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/158 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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