Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文208 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/208 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22111071）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文208】曲率は、次元と同じ仕事をする

@misc{yamagishi2026yoi208,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Curvature Does the Same Work as Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/208},
  doi = {10.5281/zenodo.22111071},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

球の体積が半径とともにどう増えるかは、曲率だけで三通りに分かれる。本稿はその三通りを測り、曲率が生む混雑が、次元が生む混雑と同じ形をしていることを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、増え方は三通りに分かれる。三次元の模型で半径 $4$ の球の体積は、曲率 $-1$ で $4657.344588$、曲率 $0$ で $268.0825731$、曲率 $+1$ ではそもそも半径 $\pi$ で終わっている（第2節）。

第二に、双曲空間では球の外側だけが太る。半径 $r-1$ から $r$ までの殻が占める割合は、$r=20$ で $0.8646647168$ であり、$1-e^{-2}=0.864664716763$ に十桁で一致する。半径をいくら大きくしても、八十六パーセントが外側の厚さ $1$ に住み続ける（第4節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ混み方が、二つの別の買い方で手に入る。平らな空間で同じ割合を出すのに要る次元は、$r=3$ で $4.93$、$r=10$ で $18.98$、$r=50$ で $98.997$、次元を半径の二倍に育て続けねばならない（第5節）。

第四に、比は決して戻らない。曲率の大きいほうの体積を小さいほうで割った比は、六つの半径すべてで前より小さくなった（表明で確認した）。比較定理の中身はある半径での値ではなく、途中で向きを変えないことである（第6節）。

第五に、双曲の球は決して中身が主にならない。表面と体積の比は、平らでは $3/r$ で零へ行くのに、双曲では $r=20$ で $2.0$ に落ち着く（第7節）。

Abstract

How the volume of a ball grows with its radius splits into three behaviours according to the curvature alone. This paper measures the three and shows numerically that the crowding produced by curvature has the same shape as the crowding produced by dimension. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the growth splits three ways. In the three-dimensional models the volume of a ball of radius $4$ is $4657.344588$ at curvature $-1$ and $268.0825731$ at curvature $0$, while at curvature $+1$ it has already finished at radius $\pi$ (Section 2).

Second, in hyperbolic space only the outside grows. The share of the ball lying between $r-1$ and $r$ is $0.8646647168$ at $r=20$, agreeing with $1-e^{-2}=0.864664716763$ to ten digits、however large the radius is made, eighty-six per cent goes on living in the outermost unit shell (Section 4).

Third, this is the core. The same crowding can be bought in two different ways. The dimension needed to reproduce that share in flat space is $4.93$ at $r=3$, $18.98$ at $r=10$ and $98.997$ at $r=50$、the dimension has to keep growing like twice the radius (Section 5).

Fourth, the ratio never turns back. Dividing the volume at greater curvature by the volume at lesser, the ratio fell at every one of six radii, checked by an assertion、the content of the comparison theorem is not its value at one radius but that it never reverses (Section 6).

Fifth, a hyperbolic ball never becomes mostly interior. The ratio of surface to volume goes to zero as $3/r$ in flat space, and settles at $2.0$ by $r=20$ in hyperbolic space (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/208/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/208 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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