Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文211 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/211 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22111772）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文211】足し続けると、答から遠ざかる

@misc{yamagishi2026yoi211,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Adding More Terms Takes You Further from the Answer},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/211},
  doi = {10.5281/zenodo.22111772},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

級数の項を足していけば答に近づく。これは、ある種類の級数についてだけ正しい。本稿は、どの $x$ でも発散するのに二十一桁を出す級数を測り、「収束する」と「近似する」が別の極限についての主張であることを数で書く。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、収束する級数は素直である。$e$ の級数の誤差は $0.218282$ から $2.05\times10^{-20}$ まで、一度も向きを変えずに落ちる（第2節）。

第二に、$E(x)=\int_0^\infty e^{-t}/(1+xt)\,dt$ の展開は、どの $x$ でも発散する。$x=0.1$ では誤差が $10$ 項めで $1.770\times10^{-4}$ まで落ちたあと、$30$ 項で $65.9$、$40$ 項で $1.63\times10^{7}$ へ登っていく（第3節）。

第三に、止める場所には規則がある。最良の項数は $x=0.2,\,0.1,\,0.05,\,0.02,\,0.01$ に対して $5,\,10,\,20,\,50,\,100$ で、ちょうど $1/x$であり、そこでの誤差は $e^{-1/x}$ とほぼ等しい（第4節）。

第四に、スターリングの級数でも同じ形が出る。最良の項数は $z=2,\,5,\,10,\,20$ に対して $7,\,16,\,32,\,63$ で、$\pi z$ に一致する。$z=20$ での誤差は $9.43\times10^{-57}$ である（第6節）。

第五に、これが本稿の芯である。$x$ を止めて項数を増やせば発散し、項数を止めて $x$ を小さくすれば誤差 $/\,x^2$ は零へ行き、誤差 $/\,x^3$ は $6.0$ に落ち着く。$6=3!$、すなわち次の係数そのものである（第7節）。

Abstract

Adding the terms of a series brings you nearer the answer、and that is true only for one kind of series. This paper measures a series that diverges at every $x$ and still gives twenty-one digits, and writes in numbers that converging and approximating are claims about different limits. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, a convergent series behaves as one expects. The error of the series for $e$ falls from $0.218282$ to $2.05\times10^{-20}$ without once turning back (Section 2).

Second, the expansion of $E(x)=\int_0^\infty e^{-t}/(1+xt)\,dt$ diverges at every $x$. At $x=0.1$ the error falls to $1.770\times10^{-4}$ at ten terms and then climbs to $65.9$ at thirty and $1.63\times10^{7}$ at forty (Section 3).

Third, there is a rule for where to stop. The best number of terms at $x=0.2,\,0.1,\,0.05,\,0.02,\,0.01$ is $5,\,10,\,20,\,50,\,100$, which is exactly $1/x$, and the error there is close to $e^{-1/x}$ (Section 4).

Fourth, Stirling’s series shows the same shape. The best number of terms at $z=2,\,5,\,10,\,20$ is $7,\,16,\,32,\,63$, which matches $\pi z$、and the error at $z=20$ is $9.43\times10^{-57}$ (Section 6).

Fifth, this is the core. Holding $x$ and adding terms diverges; holding the number of terms and letting $x$ fall sends the error over $x^2$ to zero and the error over $x^3$ to $6.0$、and $6=3!$ is the next coefficient itself (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/211/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/211 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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