Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文517 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/517 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22862396）。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月18日 19:05 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi517,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Longitudinal and Transverse Belong to the Field; x and y Belong to the Coordinates},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/517},
  doi = {10.5281/zenodo.22862396},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ベクトル場を二つに分ける操作は、いくつもある。本稿が示すのは、そのうちどれが場に属し、どれが座標に属するかは、座標を回して測れば分かることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、縦成分の割合は $\mathbf{0.647222222222}$、横成分は $\mathbf{0.352777777778}$、両者を独立に足すと $\mathbf{1.000000000000}$ である（第2節）。

第二に、同じ場を $x$ 成分と $y$ 成分に分けると $\mathbf{0.384259259259}$ になる。どちらも「場を二つに割った」と言える（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。座標を $30$ 度、$45$ 度、$90$ 度と回すと、縦の割合は $\mathbf{0.647222222222}$ のまま動かないが、$x$ の割合は $\mathbf{0.558401558841}$、$\mathbf{0.634259259259}$、$\mathbf{0.615740740741}$ と動く（第3節）。

第四に、回さなければ $x$ の割合も $\mathbf{0.384259259259}$ のまま動かない。境目である（第3節）。

第五に、分解の三つの性質（足すと戻る、平行成分の外積が $0$、垂直成分の内積が $0$）は三つのモードすべてで $\mathbf{0}$ の桁で成り立つ（第2節）。

第六に、分離子は「座標を回す」という操作である。何を動かすと別物になるかが、そのまま分け方の住所を決める（第4節）。

キーワード：ヘルムホルツ分解、ベクトル場、回転不変性、縦成分と横成分、座標系

Abstract

There are many ways to split a vector field in two.What this paper shows is that which of them belongs to the field and which to the coordinates can be measured by rotating the coordinates.No new theorem or law is claimed.

First, the longitudinal share is $\mathbf{0.647222222222}$ and the transverse share $\mathbf{0.352777777778}$, and summing the two independently gives $\mathbf{1.000000000000}$ (Section 2).

Second, splitting the same field into $x$ and $y$ components gives $\mathbf{0.384259259259}$、both may be called “a split of the field in two” (Section 2).

Third, this is the core of the paper.Rotating the coordinates by $30$, $45$ and $90$ degrees leaves the longitudinal share at $\mathbf{0.647222222222}$ while the $x$ share moves to $\mathbf{0.558401558841}$, $\mathbf{0.634259259259}$ and $\mathbf{0.615740740741}$ (Section 3).

Fourth, without a rotation the $x$ share also stays at $\mathbf{0.384259259259}$、the boundary (Section 3).

Fifth, the three properties of the decomposition (the parts sum back, the parallel part has zero cross product, the perpendicular part has zero dot product) hold to the digit $\mathbf{0}$ for all three modes (Section 2).

Sixth, the separator is the operation of rotating the coordinates、what one varies decides where a split lives (Section 4).

Keywords: Helmholtz decomposition, vector field, rotational invariance, longitudinal and transverse parts, coordinate system

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/517/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/517 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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