Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

分子が数年で入れ替わるなら、足した分も数年で消える、と思いやすい。本稿は、二つの箱をつないだ模型で、分子が居る時間と余分が消える時間が別の量であることを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、一つの分子が大気に居る平均の時間は $4.000000$ 年である。大気から出ていく割合が毎年 $0.25$ なら、大気の量を出ていく流れで割った値がそれである（第1節）。

第二に、これが本稿の芯である。足した余分は、分子の滞在から見込むよりずっと長く残る。$20$ 年後に閉じた二つの箱で $\mathbf{0.250954}$ 残り、分子の滞在だけから見込む $6.737947\times10^{-3}$ の $\mathbf{37.244946}$ 倍である（第2節）。

第三に、釣り合いを超える分は分子の滞在より速く減るが、その先は減らない。余分は時定数 $3.000000$ 年で釣り合いの $0.250000$ に近づき、$100$ 年後も $0.250000$ である。相手の箱が満ちると、出ていった余分が戻ってくる（第3節）。

第四に、出口があっても、最後の減りは遅い。相手の箱から毎年 $0.002$ の割合で抜けると、$100$ 年後の余分は $\mathbf{0.217171}$ で、残りの減りの時定数は $\mathbf{667.671180}$ 年、分子の滞在の $\mathbf{166.917795}$ 倍である（第3節）。

第五に、数は二通りに出して突き合わせた。ルンゲ＝クッタで回した数値は、閉じた箱では厳密な解と、出口つきでは固有値の解と、どれも差 $10^{-13}$ 未満で一致した（第2節・第3節）。

第六に、分離子は、分子の出入りを問うか、余分の行き先を問うかである。分子の出入りは出ていく割合だけで決まり、余分の行き先は相手の箱の大きさと出口で決まる（第4節）。

キーワード：滞留時間、箱モデル、釣り合い、時定数、固有値、模型。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。一次の速さでつないだ箱、滞在時間が量を流れで割った値であること、分子の滞在時間と足した余分が戻る時間が違うことは、いずれも大気の化学で知られた区別である。実在の値を主張しない。出ていく割合 $0.25$、相手の箱の大きさ $3$ 倍、出口 $0.002$ は模型の値で、どの気体にもどの大気や海にも対応しない。化学を入れない。反応による消失、温度や溶け方の変化は入れない。箱を増やさない。相手を一つの箱とし、その中の混ざり方は扱わない。気候を論じない。余分がどんな影響を持つか、どう減らすべきかは扱わない。既刊との関係：論文549 は、滞在時間が $5.8$ 倍変わっても「中にいる数 $=$ 到着率 $\times$ 滞在時間」は動かないことを示した。本稿はその隣に置く。分子の滞在 $4.000000$ 年はその関係から出るが、足した余分の減り方はその関係からは出ず、相手の箱が決める。加えたのは、分子の滞在と余分の残りを同じ模型で並べたこと、$20$ 年後に見込みの $37.244946$ 倍残ると測ったこと、出口つきの遅い時定数 $667.671180$ 年を固有値で出して数値と突き合わせたこと、分離子を「分子の出入りか、余分の行き先か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：大気の余分を $A$、相手の箱の余分を $O$ とする。大気から出ていく割合を $k_1$、相手の箱から戻る割合を $k_2$、相手の箱から抜ける出口の割合を $k_s$ として、次のようにつなぐ。

$$\frac{dA}{dt}=-k_1A+k_2O,\qquad
\frac{dO}{dt}=k_1A-(k_2+k_s)O,\qquad
\tau_{\text{分子}}=\frac{1}{k_1}$$

$k_1=0.25$ 毎年、$k_2=k_1/3$（釣り合いで相手の箱が大気の $3$ 倍を抱える）とし、出口は $k_s=0$（閉じた箱）と $k_s=0.002$ 毎年の二通りにした。はじめに大気へ余分 $1$ を足し、相手の箱は $0$ とした。数値はルンゲ＝クッタ（刻み $0.001$ 年・合計 $248000$ 歩）で出した。

問い：分子が $4$ 年で入れ替わるなら、足した余分も $4$ 年ほどで消えるのか。

2. 分子の滞在と余分の残り

計算 2.1：大気に残る余分を、閉じた箱、出口つき、分子の滞在だけから見込む値 $e^{-k_1t}$ で比べた。

観察 2.2　これが本稿の芯である。足した余分は、分子の滞在から見込むよりずっと長く残る。$20$ 年後、閉じた箱の余分は $0.250954$ で、分子の滞在だけから見込む $6.737947\times10^{-3}$ の $37.244946$ 倍である。分子は $4$ 年で入れ替わっているが、出ていった余分の一部が相手の箱から戻ってくる。

観察 2.3　数値は厳密な解と合う。閉じた箱の余分は $1/4+(3/4)e^{-(k_1+k_2)t}$ と書け、数値との差は三つの時刻とも $10^{-13}$ 未満だった。二つの箱の合計は $1.000000$ のまま保たれた。

3. 釣り合いと時定数

計算 3.1：閉じた箱の釣り合いと時定数、出口つきの二つの時定数を出した。

観察 3.2　釣り合いを超える分は分子の滞在より速く減るが、その先は減らない。時定数 $3.000000$ 年は分子の滞在 $4.000000$ 年より短い。だが減るのは釣り合いを超える分だけで、閉じた箱の余分は $0.250000$ を割らない。遅いほうの固有値は出口を $0$ にすると $0$ になり、余分は消えない。

観察 3.3　出口があっても、最後の減りは遅い。相手の箱から毎年 $0.002$ 抜けると、余分のうち係数 $0.252260$ の分が時定数 $667.671180$ 年で減る。分子の滞在の $166.917795$ 倍である。固有値から書いた解と数値の差は三つの時刻とも $2\times10^{-15}$ 未満で、$100$ 年後の余分は $0.217171$ だった。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、分子の出入りを問うか、余分の行き先を問うかである。分子の出入りは大気から出ていく割合 $k_1$ だけで決まる。余分の行き先は、相手の箱がどれだけ抱えられるか（$k_2$）と、そこからどれだけ抜けるか（$k_s$）で決まる。交換は分子を入れ替えるが、余分を消さない。

観察 4.2　論文549 の隣に置く。549 は、滞在時間が $5.8$ 倍変わっても「中にいる数 $=$ 到着率 $\times$ 滞在時間」が動かないことを示した。分子の滞在 $4.000000$ 年は、その関係で大気の量を出ていく流れで割った値である。足した余分の減り方はその関係からは出ず、戻ってくる流れを持つ相手の箱が決める。

観察 4.3　言わないこと。実在の気体、大気、海の値も、化学反応や温度による変化も、余分の影響や減らし方も扱わない。示したのは、分子が居る時間と足した余分が消える時間が、同じ模型の中で別の量だということである。

5. 点呼と結び

1. 分子の滞在 $1/k_1=4.000000$ 年（計算 3.1）：量を流れで割った値。
2. $20$ 年後の余分 $\mathbf{0.250954}$（計算 2.1）：閉じた箱。
3. 見込みの $\mathbf{37.244946}$ 倍（観察 2.2）：本稿の芯。
4. 時定数 $3.000000$ 年（計算 3.1）：分子の滞在より短い。
5. 釣り合いの $0.250000$ を割らない（観察 3.2）：戻ってくる。
6. 出口つきで $100$ 年後 $\mathbf{0.217171}$（計算 2.1）：出口 $0.002$。
7. 遅い時定数 $\mathbf{667.671180}$ 年（計算 3.1）：固有値で出した。
8. 分子の滞在の $\mathbf{166.917795}$ 倍（観察 3.3）：最後の減り。
9. 数値と解の差 $10^{-13}$ 未満（観察 2.3・3.3）：別々に出した。
10. 分子の出入りか、余分の行き先か（観察 4.1）：分離子・論文549。

結び：一つの分子が空に居る時間と、足した分が消える時間は別である。大気から毎年 $0.25$ の割合で出ていくとき、一つの分子が居る平均の時間は $4.000000$ 年だが、足した余分は $20$ 年後も $0.250954$ 残り、分子の滞在だけから見込む値の $37.244946$ 倍である。出ていった余分の一部が、満ちた相手の箱から戻ってくるからである。余分は時定数 $3.000000$ 年で釣り合いの $0.250000$ に近づき、出口が無ければそこから減らない。出口 $0.002$ を付けても、残りの減りの時定数は $667.671180$ 年で、分子の滞在の $166.917795$ 倍である。既刊との位置：論文549 の「中にいる数 $=$ 到着率 $\times$ 滞在時間」から出る分子の滞在の隣に、その関係からは出ない余分の減り方を置いた。正直に言えば、割合と箱の大きさは模型の値で、化学反応や温度による変化、箱の中の混ざり方は入れていない。

参考文献

1. Jacob, D. J. (1999). Introduction to Atmospheric Chemistry. Princeton University Press.
2. Seinfeld, J. H., & Pandis, S. N. (2006). Atmospheric Chemistry and Physics: From Air Pollution to Climate Change (2nd ed.). Wiley.
3. 山岸勇輝 (2026). 『滞在時間が $5.8$ 倍変わっても、掛け算の関係は動かない』[論文549]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/549 ・ DOI: 10.5281/zenodo.23014185

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「一つの分子が空に居る時間と、足した分が消える時間は別である」［論文865］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/865

@misc{yamagishi2026yoi865,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Time One Molecule Spends in the Air Is Not the Time an Added Excess Takes to Vanish},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/865},
  note = {Preprint, edition 1}
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