Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

写真では、F 値を $\sqrt{2}$ 倍ずつ変えると像の明るさが半分ずつ変わるとされる。本稿は、像の照度が射出側の半角の正弦の二乗に比例することから出発し、その「半分ずつ」がどの測り方で厳密か、測り方を替えるとどれだけ外れるか、F 値にどこまで小さい値があり得るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、半角を正弦で測れば、照度はちょうど半分ずつ減る。F 値を半角の正弦の逆数の半分と置くと、照度は F 値の二乗に反比例し、$\sqrt{2}$ 刻みの $11$ 段で比は $2$ から $4.4\times10^{-16}$ しか外れなかった。F1 と F16 の比は $\mathbf{256.000000}$ である（第2節）。

第二に、F 値 $0.5$ で像側の半球全体から光が来る。そのとき半角は $90$ 度、照度は $\pi$（$3.141593$）で、F 値をそれより小さくすると正弦が $1$ を超え、空気中では作れない（第2節）。

第三に、半角を正接で測ると、明るい側で外れる。正接で測った照度と正弦で測った照度の比は、F 値 $0.5$ で $0.500000$、$1$ で $\mathbf{0.800000}$、$2$ で $0.941176$、$16$ で $0.999024$ で、F1 と F16 の比は $\mathbf{205.000000}$ だった（第3節）。

第四に、照度が見ているのは立体角ではなく投影立体角である。射出の円錐の立体角に対する投影立体角の比は、F 値 $0.5$ で $0.500000$、$1$ で $0.933013$、$2$ で $0.984123$ だった（第4節）。

第五に、分離子は、開口の半角を正弦で測るか正接で測るかである。正弦で測れば F 値の二乗の法則は厳密で、F 値の下限は $0.5$ になる。正接で測ると暗い側では同じ値に近づくが、明るい側ほど二乗の法則から外れる（第5節）。

キーワード：F値、像面照度、正弦条件、開口数、投影立体角、写真レンズ。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。像の照度が射出側の半角の正弦の二乗に比例すること、正弦条件、有効 F 値と開口数の関係、投影立体角は、いずれも標準的である。軸上だけを扱う。画面の周辺での明るさの低下、口径食、透過率、反射の損失は入れない。レンズを設計しない。収差を計算せず、正弦条件を満たすかどうかを二つの測り方として置くだけである。実在のレンズを論じない。製品の F 値の表記や、どのレンズが明るいかは扱わない。空気中に限る。像側が屈折率 $1$ の媒質だとして下限を言う。既刊との関係：論文358 は、被写界深度の深さが測定値ではなく約束であることを示した。ここでは、同じ F 値が明るさについてはどの測り方で厳密になるかを数える。論文757 は、解像を波長・開口数・係数のどれで買うかで焦点深度の払いが違うことを示した。ここでは開口数と同じ正弦が、明るさの F 値の二乗の法則と下限 $0.5$ を決めることを数える。論文918 は、アンテナの利得が $4\pi$ の立体角への配り方を測る比であることを示した。ここでは、像の照度が立体角ではなく投影立体角を見ていて、F 値 $0.5$ で半球の投影立体角 $\pi$ に届くことを数える。加えたのは、正弦で測る照度が $\sqrt{2}$ 刻みでちょうど半分ずつになることを確かめたこと、F 値の下限 $0.5$ で照度が $\pi$ になることを示したこと、正接で測ったときの外れを並べたこと、立体角と投影立体角の比を出したこと、分離子を「正弦で測るか正接で測るか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：輝度 $L$ の面を写すとき、像の照度は射出側の半角 $\theta’$ で次のように書ける（透過率を $1$ とする）。F 値 $N$ を正弦で測る置き方と正接で測る置き方を並べる。

$$E=\pi L\sin^2\theta’,\qquad \sin\theta’=\frac{1}{2N}\ \Rightarrow\ E=\frac{\pi L}{4N^2},\qquad \tan\theta’=\frac{1}{2N}\ \Rightarrow\ E=\frac{\pi L}{1+4N^2}$$

正弦で測る置き方は正弦条件を満たすレンズ、正接で測る置き方は主平面が平らなレンズの幾何に当たる。検算では $L=1$ と置き、F 値を $0.5$ から $16$ まで $\sqrt{2}$ 刻みで動かした。

問い：F 値の二乗で明るさが半分ずつ変わるのは、どの測り方で厳密か。F 値はどこまで小さくできるか。

2. 正弦で測る

計算 2.1：F 値ごとの照度と半角。

正弦で測る照度は $\sqrt{2}$ 刻みで比 $2$ から最大 $4.4\times10^{-16}$ しか外れず、F1 と F16 の比は $\mathbf{256.000000}$ だった。F 値 $0.5$ の照度は $\pi$ と差 $0$ で一致した。

観察 2.2　半角を正弦で測れば、F 値の二乗の法則は厳密で、下限は $0.5$ である。F 値 $0.5$ で半角は $90$ 度になり、光は像側の半球全体から来る。それより小さい F 値は正弦が $1$ を超える値を求めるので、空気中の像側では作れない。

3. 正接で測る

計算 3.1：正接で測った照度と正弦で測った照度の比は $4N^2/(1+4N^2)$ で、F 値 $1$ で $\mathbf{0.800000}$ と差 $0$ で一致した。F1 と F16 の照度の比は $\mathbf{205.000000}$ だった。

観察 3.2　半角を正接で測ると、明るい側ほど二乗の法則から外れる。F 値 $16$ では比は $0.999024$ で二つの測り方はほとんど同じだが、F 値 $1$ では $0.8$、$0.5$ では半分になる。正接で測る置き方では、F 値をいくら小さくしても半角は $90$ 度に届かず、照度は $\pi$ に届かない。

4. 立体角と投影立体角

計算 4.1：射出の円錐（正弦で測る半角）の立体角と投影立体角。

観察 4.2　照度が見ているのは、立体角ではなく投影立体角である。F 値 $0.5$ の円錐は半球で立体角は $2\pi$ だが、斜めから来る光は像面に斜めに当たるぶん弱まり、照度に効くのは投影立体角 $\pi$ である。F 値が大きく円錐が細いほど、二つの角はそろう。

5. 分離子

観察 5.1　分離子は、開口の半角を正弦で測るか正接で測るかである。正弦で測れば照度は F 値の二乗に厳密に反比例し、F 値の下限は $0.5$ で、そこで照度は $\pi$ になる。正接で測ると F1 と F16 の比は $256$ ではなく $205$ になり、明るい側ほど外れる。暗い側では二つの測り方の差は消える。

観察 5.2　言わないこと。収差の計算、画面の周辺の明るさ、透過率、実在のレンズの表記は扱わない。示したのは、F 値の二乗の法則が正弦で測るときに厳密であり、そのとき空気中の F 値は $0.5$ を下回れないことである。

6. 点呼と結び

1. $E=\pi L\sin^2\theta’$（第1節）：正弦の二乗。
2. $\sqrt{2}$ 刻みで比 $2$・F1 と F16 で $\mathbf{256.000000}$（計算 2.1）：厳密に半分ずつ。
3. F 値 $0.5$ で照度 $\pi$（計算 2.1）：半球全体・下限。
4. 正接÷正弦が F 値 $1$ で $\mathbf{0.800000}$（計算 3.1）：明るい側で外れる。
5. 正接で F1 と F16 の比 $\mathbf{205.000000}$（計算 3.1）：$256$ にならない。
6. 投影÷立体角 $0.500000$・$0.933013$・$0.984123$（計算 4.1）：投影立体角を見る。
7. 正弦か正接か（観察 5.1）：分離子・論文358・757・918。

結び：明るさが F 値の二乗で決まるのは半角を正弦で測るときで、空気中の F 値は $0.5$ を下回れない。正弦で測れば、照度は $\sqrt{2}$ 刻みでちょうど半分ずつ減り、F1 と F16 の比は $256$ だった。F 値 $0.5$ で半角は $90$ 度、照度は半球の投影立体角 $\pi$ に届き、それより小さい F 値は空気中では作れない。正接で測ると、F 値 $1$ で照度は $0.8$ 倍になり、F1 と F16 の比は $205$ だった。分離子は、開口の半角を正弦で測るか正接で測るかである。既刊との位置：論文358 が約束だと示した F 値の深さの側に対し明るさの側の厳密さを数え、論文757 の開口数と同じ正弦が下限を決めることを示し、論文918 の立体角の配り方に投影立体角を並べた。正直に言えば、レンズの良し悪しは言わない。二乗の法則がどの測り方で厳密か、そこまでである。

参考文献

1. Born, M., & Wolf, E. (1999). Principles of Optics. Cambridge University Press.
2. Kingslake, R. (1978). Lens Design Fundamentals. Academic Press.
3. 山岸勇輝 (2026). 『被写界深度の「深さ」は、測定値ではなく約束である』[論文358]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/358 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22697216
4. 山岸勇輝 (2026). 『解像を三つの量のどれで買うかで、焦点深度の払いが違う』[論文757]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/757 ・ DOI: 10.5281/zenodo.23015169
5. 山岸勇輝 (2026). 『アンテナの利得は全方向で平均すると $1$ で、半値幅から利得を出す係数は裾の電力で変わる』[論文918]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/918

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「明るさが F 値の二乗で決まるのは半角を正弦で測るときで、空気中の F 値は 0.5 を下回れない」［論文923］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/923

@misc{yamagishi2026yoi923,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Brightness Follows the Square of the F-Number When the Half-Angle Is Measured by Its Sine, and in Air the F-Number Cannot Go Below 0.5},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/923},
  note = {Preprint, edition 1}
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