4次元位相ポアンカレ予想（Freedman の定理）および 4次元ユークリッド空間の異相微分構造（Donaldson のエキゾチック R⁴）に対し、n=3 唯一性定理（dm/dr = 2π²）とホップファイブレーションに基づく情報幾何学的再定式化を提示する。

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S³ に同相である」という3次元ポアンカレ予想（ペレルマンの定理）に対し、n=2 唯一性定理（dm/dr = 4π）に基づく情報幾何学的再定式化を提示する。

臨界線 Re(s)=1/2 は、完備ゼータ関数の関数方程式 ξ(s)=ξ(1−s) が定める対合 s↦1−s の不動点の集合である。

【第4版（2026年8月）】結論は変更していない。

3次元ユークリッド空間において、密度分布が逆二乗則 ρ(r) = 1/r² に従う球領域の体積積分では、体積要素のヤコビアン r² と密度の 1/r² が相殺する。

3次元ユークリッド空間 R³ において、球対称べき型密度分布 ρ(r) = r⁻ⁿ（n ∈ R）に対する球殻質量増加率 dm/dr が半径 r に依存せず均一となるための必要十分条件が n = 2 に限られることを証明する。

払っている条件は、大きさでも滑らかさでもなく、整数であることだった。

「積分」は一語で六つを指す——そしてルベーグは広義リーマンを含まない。

「三つに分かれる」は位相の文ではない——平面と円板は同相である。

何を忘れたかは、写像を数えれば分かる——忘却には性質・構造・ものの三段がある。