Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文960 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/960 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月14日 16:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi960,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Cheapest Number of Tanks in Series Scales with the Decades to Remove, and Each Tank's Share Is Set by the Cost Exponent Alone},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/960},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

よく混ぜた箱を直列に分けるほど、同じ残りまで反応させるのに要る合計の大きさは小さくなる（論文931）。本稿は、一次反応の残りを $0.1$・$0.01$・$0.001$ にするのに要る合計の大きさを箱の数ごとに出し、箱一つの費用がその体積の $a$ 乗（置いた値）で増えるとき、合計の費用が最も安い箱の数を探す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、箱を分けるほど要る大きさは押し出し流れに近づく。残り $0.001$ にするには、反応の速さと合計の滞在時間の積が、箱 $1$ 個で $999$、$2$ 個で $61.245553$、$10$ 個で $9.952623$ 要り、押し出し流れの $6.907755$ に近づいた（第2節）。

第二に、費用が体積に比例するなら、最も安い箱の数は無い。$a=1$ では費用は合計の大きさそのもので、箱 $1$ 個から $2000$ 個まで箱を足すほど下がり続け、$2000$ 個でも押し出し流れより $0.011943$ 大きかった（残り $0.001$）（第2節）。

第三に、比例より緩く増えるなら最も安い数があり、残りの桁数に比例する。残り $0.1$・$0.01$・$0.001$ で、最も安い箱の数は $a=0.6$ なら $2$・$4$・$6$ 個、$a=0.8$ なら $5$・$10$・$15$ 個で、最も安い費用もちょうど $1:2:3$ だった。残り $0.001$ の費用は箱 $1$ 個の $0.151133$ 倍と $\mathbf{0.038913}$ 倍だった（第3節）。

第四に、箱一つの受け持ちは費用の冪だけで決まる。箱一つでの反応の速さと滞在時間の積 $x$ の最適は、残りによらず $a(1+x)\ln(1+x)=x$ の解で、$a=0.4$・$0.6$・$0.8$・$0.9$・$0.95$ で $8.314868$・$\mathbf{2.084104}$・$0.590761$・$0.239311$・$0.109022$、一桁あたりの箱の数は $1.031804$・$2.044450$・$4.960194$・$10.731874$・$22.251750$ だった（第4節）。

第五に、分離子は、箱一つの費用が体積に比例するか、比例より緩く増えるかである。比例なら箱は足すほど安く、押し出し流れが下の限りになる。比例より緩ければ、箱一つの受け持ちが一つに決まり、箱の数は求める桁数で決まる（第5節）。

キーワード：完全混合槽、直列の槽、一次反応、押し出し流れ、設備の費用、規模の経済

Abstract

The more a well-mixed vessel is split into tanks in series, the smaller the total size needed to react down to the same remainder (Paper 931).This paper computes, for each number of tanks, the total size needed to bring a first-order reaction down to a remainder of $0.1$, $0.01$ and $0.001$, and, with the cost of one tank rising as its volume to the power $a$ (a set value), searches for the number of tanks with the lowest total cost.No new theorem or law is claimed.

First, splitting into more tanks brings the needed size toward plug flow: to reach a remainder of $0.001$, the product of rate constant and total residence time needed was $999$ with $1$ tank, $61.245553$ with $2$ and $9.952623$ with $10$, approaching plug flow’s $6.907755$ (Section 2).

Second, if cost is proportional to volume, there is no cheapest number of tanks: with $a=1$ the cost is the total size itself, which kept falling as tanks were added from $1$ to $2000$, and at $2000$ tanks was still $0.011943$ above plug flow (remainder $0.001$) (Section 2).

Third, if cost rises more gently, a cheapest number exists and scales with the decades of remainder: for remainders $0.1$, $0.01$ and $0.001$, the cheapest number was $2$, $4$ and $6$ tanks for $a=0.6$ and $5$, $10$ and $15$ for $a=0.8$, and the lowest costs were exactly $1:2:3$. At remainder $0.001$ the cost was $0.151133$ and $\mathbf{0.038913}$ of one tank’s (Section 3).

Fourth, each tank’s share is set by the cost exponent alone: the optimal product $x$ of rate constant and residence time in one tank does not depend on the remainder; it solves $a(1+x)\ln(1+x)=x$, giving $8.314868$, $\mathbf{2.084104}$, $0.590761$, $0.239311$ and $0.109022$ for $a=0.4$, $0.6$, $0.8$, $0.9$ and $0.95$, with $1.031804$, $2.044450$, $4.960194$, $10.731874$ and $22.251750$ tanks per decade (Section 4).

Fifth, the separator is whether the cost of one tank is proportional to its volume or rises more gently: if proportional, tanks get cheaper the more are added, with plug flow as the lower limit. If more gentle, each tank’s share is fixed, and the number of tanks is set by the number of decades required (Section 5).

Keywords: continuous stirred-tank reactor, tanks in series, first-order reaction, plug flow, equipment cost, economies of scale

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/960/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/960 はいつも最新の版を指します）。

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