Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文229 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/229 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22126445）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文229】「÷」は五つあり、割れない理由がそれぞれ違う

@misc{yamagishi2026yoi229,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {There Are Five Divisions, and Each One Fails for a Different Reason},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/229},
  doi = {10.5281/zenodo.22126445},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

割り算は、掛け算を戻す操作である。だが戻すのを邪魔するものは一種類ではない。本稿は五つの妨げを点呼し、それぞれで何が起きるかを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、同じ $12\div3=4$ が三つの別の $4$である。$12\,\mathrm{m}\div3$ は長さ、$12\,\mathrm{m}\div3\,\mathrm{m}$ はただの個数、$12\,\mathrm{m}\div3\,\mathrm{s}$ は速さ、分けているのは単位である（第2節）。

第二に、整数ではほとんど割れない。$200000$ 組の乱数で、商が整数に戻ったのは $1404$ 回、すなわち $\mathbf{0.7020\%}$ であった（第3節）。

第三に、割る側に逆元が無いことがある。$\mathbb{Z}/12$ で $6x=1$ の解は一つも無く、$6x=0$ の解は $\mathbf{6}$ 個ある。存在しないだけでなく、一意でもない（第4節）。

第四に、掛け算が交換しないと、商は二つになる。$19977$ 組の乱数行列で、左商と右商が一致したのは $\mathbf{0}$ 件であった（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。$S_3$ ではどの部分群でも指数は整数なのに、商が群になるのは正規なときだけである。数はいつでも割れ、ものは割れない（第6節）。

Abstract

Division undoes a multiplication. And what stands in the way of the undoing is not of one kind. This paper counts five obstructions and shows in numbers what happens under each. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, one $12\div3=4$ is three different fours. $12\,\mathrm{m}\div3$ is a length, $12\,\mathrm{m}\div3\,\mathrm{m}$ is a bare count, and $12\,\mathrm{m}\div3\,\mathrm{s}$ is a speed、what separates them is the units (Section 2).

Second, in the integers division almost never works. Over $200000$ random pairs the quotient landed back in the integers $1404$ times, that is $\mathbf{0.7020\%}$ (Section 3).

Third, the divisor may have no inverse. In $\mathbb{Z}/12$, $6x=1$ has no solution at all while $6x=0$ has $\mathbf{6}$、not merely absent but not unique either (Section 4).

Fourth, when the multiplication does not commute there are two quotients. Over $19977$ random matrix pairs the left and right quotients agreed $0$ times (Section 5).

Fifth, this is the core. In $S_3$ every subgroup has a whole-number index, and yet the quotient is a group only when the subgroup is normal、the numbers always divide and the objects do not (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/229/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/229 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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