Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文233 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/233 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22127806）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文233】「微分できる」は六つあり、そのうち二つは極限を取らない

@misc{yamagishi2026yoi233,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Differentiable” Is Six Things, and Two of Them Take No Limit},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/233},
  doi = {10.5281/zenodo.22127806},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文178 は「どの意味で微分と言っているかの問題である」と書いて、そこで止めた。本稿はその点呼である。「微分できる」は少なくとも六つの別の主張であり、二つは差分商の極限をまったく取らない。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、全方向にあって、全体には無い。$f(x,y)=x^3y/(x^6+y^2)$ はあらゆる方向で微分係数 $0$ を持ちながら、曲線 $y=x^3$ の上では原点にいくら近づいても値が $0.5$ のままである（第2節）。

第二に、どこにも無い。ワイエルシュトラス関数の差分商は $h$ を縮めるほど $19.77\to-172.32\to-947.98\to-7510.35\to+11503.54$ と符号ごと暴れる（第3節）。

第三に、ほとんど至る所にはある。カントール階段は乱数 $3000$ 点すべてで傾きが $10^{-6}$ 未満、それでいてちょうど $1$ だけ上がる（第4節）。

第四に、極限を取らない微分がある。$|x|$ の弱微分は $\mathrm{sgn}$ であり、試験関数との対で $0.177772705925436369$ が両辺一致した（差 $6.46\times10^{-27}$）（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。カントール階段の超関数微分は関数ではなく測度である。台の長さが $0.0077$ へ縮んでも積分は $0.2373579604737711$ に居座る（第6節）。

第六に、定数を消さない微分がある。$1/2$ 階のリーマン＝リウヴィル微分は定数 $1$ に対し $x=1$ で $0.564189583548$ を返す。カプトは $0$ を返し、差はちょうど初期値の分である（第7節）。

Abstract

Paper 178 wrote that “both are a question of in which sense one says derivative”, and stopped there. This paper is that census. “Differentiable” is at least six different claims, and two of them take no limit of difference quotients at all. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, it exists in every direction and not at all. $f(x,y)=x^3y/(x^6+y^2)$ has directional derivative $0$ in every direction, while along the curve $y=x^3$ its value stays at $\mathbf{0.5}$ however close to the origin one comes (Section 2).

Second, it exists nowhere. The difference quotients of the Weierstrass function run $19.77\to-172.32\to-947.98\to-7510.35\to+11503.54$ as $h$ shrinks, changing sign (Section 3).

Third, it exists almost everywhere. The Cantor staircase has slope below $10^{-6}$ at all $3000$ random points tested, and still climbs exactly $1$ (Section 4).

Fourth, some derivatives take no limit. The weak derivative of $|x|$ is $\mathrm{sgn}$, and paired against a test function both sides gave $0.177772705925436369$ (difference $6.46\times10^{-27}$) (Section 5).

Fifth, and this is the core. The distributional derivative of the Cantor staircase is a measure and not a function、the support shrinks to length $0.0077$ while the integral sits at $0.2373579604737711$ (Section 6).

Sixth, one derivative does not kill a constant. The Riemann-Liouville derivative of order $1/2$ returns $0.564189583548$ at $x=1$ for the constant $1$、Caputo returns $0$, and the gap is exactly the initial value (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/233/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/233 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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