Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

安定な点とは、谷の底のことだと思われている。本稿が示すのは、$L_{4}$ が有効ポテンシャルの極大でありながら安定であることである。柵は形ではなく、質量比 $\mathbf{24.9599357944}$ である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$L_{4}$ は停留点である。勾配は $(0.000\times10^{0}, 1.110\times10^{-10})$ で、$0.05$ ずらすと $-0.040634$ になる（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。その停留点は極大である。有効ポテンシャルは $-1.499998500005$ で、周囲八方向の最大が $-1.499998503754$、すべて低い（第2節）。

第三に、それでも安定であり、条件は $27\mu(1-\mu)<1$ である。閾値の質量比は $\mathbf{24.9599357944}$ である（第3節）。

第四に、太陽と地球の比 $333029.7043$ は安定側、質量比 $20$ は不安定側にいる（第3節）。

第五に、$L_{1}$ は数値解で $\mathbf{1491426526}$ m、近似式は $1496433206$ m で相対差 $0.003357$ である（第4節）。

第六に、分離子は「支えているのがポテンシャルか、速度に依る力か」である（第5節）。

キーワード：ラグランジュ点、制限三体問題、L4 と L5、線形安定性、天体力学。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。制限三体問題、ラグランジュ点、$L_{4}$／$L_{5}$ の線形安定条件は、いずれも標準的である。天体力学を作らない。摂動、離心率、太陽輻射圧、実際のトロヤ群の分布は主題ではない。円制限三体問題の内側だけを見る。非線形の安定性を扱わない。扱うのは線形安定であり、長時間の挙動やアーノルド拡散には立ち入らない。五点すべての位置を出さない。$L_{1}$ と $L_{4}$ の数だけを出す。$L_{2}$、$L_{3}$、$L_{5}$ は名指すにとどめる。ヒル半径を導かない。論文337 が射程注記で「三体問題やヒル半径の導出そのものには立ち入らない」と書いており、本稿はその隣に置く。既刊との関係：論文195 は「安定」が六つの別の言葉であり、分けているのは何を揺らすかだと示した。本稿はその六つのうち二つが $L_{4}$ で食い違う例を出す。論文487 は停留点が最小・最大・縮退の三通りあることを示した。$L_{4}$ はその「最大」であり、しかも安定である。論文337 は太陽系の「果て」が五つあると示した。同じ系で「安定な場所」も一つではない。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した。本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、$L_{4}$ の極大性を八方向で確かめたこと、勾配を $1.110\times10^{-10}$ と出したこと、閾値を $24.9599357944$ と出し逆算で確かめたこと、境目の両側を $20$ と $25$ で挟んだこと、$L_{1}$ の数値解と近似式を相対差 $0.003357$ で比べたことである。

1. 記法と問い

設定：質量 $m_{1}$、$m_{2}$ の二体が共通重心のまわりを円運動し、質量比を $\mu=m_{2}/(m_{1}+m_{2})$ と書く。共に回る座標系で、質量の無視できる第三体が感じる有効ポテンシャルは

$$\Omega(x,y)=-\left[\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})
+\frac{1-\mu}{r_{1}}+\frac{\mu}{r_{2}}\right]$$

である（$G(m_{1}+m_{2})=1$、距離 $1$、角速度 $1$ の単位）。その停留点が五つあり、$L_{4}$ と $L_{5}$ は二体と正三角形をなす。

観察 1.1　安定な点とは、谷の底のことだと思われている。ずらせば戻る。ポテンシャルが低いほうへ落ちる、という像である。

観察 1.2　だが回る座標系には、速度に依る力がある。コリオリの力、ポテンシャルには書けない。

問い：$L_{4}$ は谷なのか、山なのか。

2. $L_{4}$ は山の頂上である

計算 2.1：$\mu=3.0\times10^{-6}$（太陽と地球に近い値）で $L_{4}$ の勾配を数値で出す。

$$\left(\frac{\partial\Omega}{\partial x},\ \frac{\partial\Omega}{\partial y}\right)
=\left(0.000\times10^{0},\ 1.110\times10^{-10}\right)$$

観察 2.2　勾配が消えている。$1.110\times10^{-10}$、数値微分の刻みの大きさであり、停留点である。

観察 2.3　そこから $0.05$ ずらすと停留点でなくなる。$-0.040634$、八桁動いており、検査が位置に反応していることの確認になる。

計算 2.4：$L_{4}$ とその周囲八方向で $\Omega$ を比べる。

観察 2.5　周囲がすべて低い。最大でも $-1.499998503754<-1.499998500005$、どの向きへずらしてもポテンシャルは下がる。$L_{4}$ は極大である。

観察 2.6　極小ではない。周囲の最小が $-1.499998513721$、向きによる差もあり、平らでもない。

観察 2.7　論文487 の三通りでいえば、これは「最大」である。停留点が山になっている場合、そこでは光の経路が最長になった。ここでは物が留まる。

3. それでも安定であり、柵は質量比である

計算 3.1：$L_{4}$／$L_{5}$ の線形安定条件 $27\mu(1-\mu)<1$ を解く。

観察 3.2　逆算が $1$ に戻る。$0.999999999999999$、式の変形にも数値にも誤りが無いことの独立な確認である。

観察 3.3　柵は $24.9599357944$ である。重いほうが軽いほうの $24.96$ 倍より重ければ安定、形の話ではなく、比の話である。

計算 3.4：境目の両側を確かめる。

観察 3.5　太陽と地球は柵から四桁離れている。$333029.7043$ 対 $24.9599357944$、余裕をもって安定側にいる。

観察 3.6　$25$ と $20$ で境目を挟んだ。片方は安定、片方は不安定、閾値がその間にあることの確認である。

観察 3.7　支えているのはコリオリの力である。ずれると横向きに曲げられ、山を降りきる前に周回に入る。速度に依るので、ポテンシャルの図には現れない。

4. $L_{1}$、谷ではないが、鞍である

計算 4.1：太陽と地球で $L_{1}$ の位置を数値で解き、近似式と比べる。

観察 4.2　実測の約 $150$ 万 km に合う。$149.1427$ 万 km、観測衛星が置かれている距離であり、独立な確認になる。

観察 4.3　近似式は $0.34$ パーセント外れる。差 $5006679$ m、一致してはいないが、桁は合っている。近似が効いている範囲が読める。

観察 4.4　$L_{1}$ は鞍点であり、安定でない。一方向に落ちる。置いた衛星は制御を続けなければ留まれない。

観察 4.5　つまり五つの停留点は同じ種類ではない。三つは鞍、二つは極大、そして安定なのは極大のほうである。

5. 分離子

分離子：支えているのがポテンシャルか、速度に依る力か。

観察 5.1　ポテンシャルなら、極小でなければ安定でない。谷の底、$L_{4}$ はそうなっていない。

観察 5.2　速度に依る力なら、極大でも安定でありうる。コリオリ、実際に $L_{4}$ がそれである。

観察 5.3　論文195 が分けた六つの「安定」のうち、二つがここで食い違う。「エネルギーが極小」と「摂動が発散しない」。$L_{4}$ は後者を満たし、前者を満たさない。論文300 の基準で別根である。

観察 5.4　だから「安定だから谷にある」とは言えない。反例が実在する。トロヤ群の小惑星が、その山の頂上に留まっている。

観察 5.5　柵が形ではなく比であることも、そこから来る。$24.9599357944$、コリオリの効きと山の傾きの釣り合いが、質量比だけで決まる。

観察 5.6　これは論文481 でいう分離子の一本である。「安定なはずの点から外れた」という報告が来たとき、どの意味の安定が破れたのかで、直す先が違う。

観察 5.7　正直に言えば、扱ったのは線形安定だけである。一次までの摂動が発散しないこと、長時間でどうなるか、非線形の効果がどう効くかは別の問題であり、本稿は触れていない。実際のトロヤ群が数十億年留まっている理由の全部が、ここに書かれているわけではない。

6. 点呼と結び

1. $L_{4}$ の勾配は $1.110\times10^{-10}$（計算 2.1）：停留点である。
2. $0.05$ ずらすと $-0.040634$（観察 2.3）：検査が位置に反応する。
3. $\Omega(L_{4})=-1.499998500005$（計算 2.4）：本稿の芯。
4. 周囲の最大が $-1.499998503754$（観察 2.5）：すべて低く、極大である。
5. 閾値は $24.9599357944$（計算 3.1）：逆算で $0.999999999999999$。
6. 太陽と地球は $333029.7043$（計算 3.4）：四桁の余裕。
7. $25$ と $20$ で挟んだ（観察 3.6）：境目の両側。
8. $L_{1}$ は $1491426526$ m（計算 4.1）：近似式との差 $0.003357$。
9. 分離子はポテンシャルか速度依存の力か（観察 5.3）：論文195 の六つのうち二つが食い違う。
10. 線形安定だけを扱った（観察 5.7）：長時間の話ではない。

結び：安定な点とは谷の底のことだと思われている。ずらせば戻る、ポテンシャルが低いほうへ落ちる、という像である。だが回る座標系にはコリオリの力があり、それはポテンシャルには書けない。$L_{4}$ は山の頂上である。$\mu=3.0\times10^{-6}$ で $L_{4}$ の勾配は $(0.000\times10^{0}, 1.110\times10^{-10})$、数値微分の刻みの大きさであり停留点である。そこから $0.05$ ずらすと $-0.040634$ となって八桁動く。有効ポテンシャルは $\mathbf{-1.499998500005}$ で、周囲八方向の最大が $\mathbf{-1.499998503754}$、最小が $-1.499998513721$。どの向きへずらしてもポテンシャルは下がる。$L_{4}$ は極大であって極小ではなく、向きによる差もあるので平らでもない。論文487 の三通りでいえばこれは「最大」であり、あちらでは光の経路が最長になった場合だった。ここでは物が留まる。それでも安定であり、柵は質量比である。線形安定条件 $27\mu(1-\mu)<1$ を解くと $\mu_{c}=0.038520896505$、逆算した $27\mu_{c}(1-\mu_{c})$ は $0.999999999999999$ で $1$ に戻り、閾値の質量比は $\mathbf{24.9599357944}$ である。重いほうが軽いほうの $24.96$ 倍より重ければ安定で、形の話ではなく比の話である。太陽と地球の比 $\mathbf{333029.7043}$ は柵から四桁離れて安定側におり、質量比 $25$ は安定側、$20$ は不安定側で、境目を挟んだ。支えているのはコリオリの力で、ずれると横向きに曲げられ、山を降りきる前に周回に入る。速度に依るので、ポテンシャルの図には現れない。$L_{1}$ は谷ではないが、鞍である。太陽と地球で数値に解くと地球から $\mathbf{1491426526}$ m、すなわち $149.1427$ 万 km で、観測衛星が置かれている距離に合う。近似式 $R(m_{2}/3m_{1})^{1/3}$ は $1496433206$ m で、差は $5006679$ m、相対差 $0.003357$、一致してはいないが桁は合っており、近似の効く範囲が読める。$L_{1}$ は鞍点であって安定でなく、置いた衛星は制御を続けなければ留まれない。つまり五つの停留点は同じ種類ではなく、三つは鞍、二つは極大で、安定なのは極大のほうである。分けているものは一つ、支えているのがポテンシャルか、速度に依る力か。ポテンシャルなら極小でなければ安定でないが、$L_{4}$ はそうなっていない。速度に依る力なら極大でも安定でありうる。実際に $L_{4}$ がそれである。論文195 が分けた六つの「安定」のうち、「エネルギーが極小」と「摂動が発散しない」の二つがここで食い違う。$L_{4}$ は後者を満たし前者を満たさず、論文300 の基準で別根である。だから「安定だから谷にある」とは言えない。反例が実在し、トロヤ群の小惑星がその山の頂上に留まっている。柵が形ではなく比であることもそこから来る。コリオリの効きと山の傾きの釣り合いが、質量比だけで決まる。これは論文481 でいう分離子の一本で、「安定なはずの点から外れた」という報告が来たとき、どの意味の安定が破れたのかで直す先が違う。正直に言えば、扱ったのは線形安定だけである。一次までの摂動が発散しないことであって、長時間でどうなるか、非線形の効果がどう効くかは別の問題であり、本稿は触れていない。実際のトロヤ群が数十億年留まっている理由の全部が、ここに書かれているわけではない。

参考文献

1. Lagrange, J.-L. (1772). Essai sur le problème des trois corps. Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris.
2. Szebehely, V. (1967). Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Academic Press.
3. Murray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press.
4. 山岸勇輝 (2026). 『「安定」は六つの別の言葉であり、分けているのは何を揺らすかである』[論文195]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22107170
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『太陽系の「果て」は五つあり、最小と最大は $5106$ 倍ひらく』[論文337]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22681940
7. 山岸勇輝 (2026). 『「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる』[論文481]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733927
8. 山岸勇輝 (2026). 『停留点は三通りある。最小と、最大と、どこでも同じ』[論文487]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22759965

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「山の頂上に、物が留まっている」［論文490］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22760033

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Something Is Resting on the Summit of a Hill},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/490},
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  note = {Preprint, edition 1}
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