Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

本稿が問うのは、指数移動平均がどこから始めたかをいつまで覚えているか、である。答えは、期間の約六倍の本数である。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。★ ゼロから始めた指数移動平均は、正解に追いつくまで N=20 で 116 本・N=50 で 292 本・N=200 で 1,168 本かかる。 本数 ÷ N は 5.83・5.84・5.84 で、最大 ÷ 最小が 1.0026 とほぼ完全に比例する（第3節）。

第二に、単純移動平均は N 本で忘れる。 追いつく本数は 19・49・199 で、N を超えることは一度も無い（第4節）。

第三に、★ 同じ N・同じ初期化でも、指数は単純の 5.87 から 6.13 倍かかる。 「二十本の移動平均」という同じ呼び名で、要るウォームアップが六倍違う（第4節）。

第四に、★ 予言③は外れた。判定の食い違いは、値より早く消える。 判定が一致する本数 ÷ 値が追いつく本数は中央 0.4787 である。価格は普通ならし線から離れているので、わずかな誤差では上下が入れ替わらない（第5節）。

第五に、★ 予言④は半分当たった。 三つの初期化をまとめると本数 ÷ N の最大 ÷ 最小は 3.1064 だが、ゼロから始めた場合だけなら 1.0026 である。比例が崩れるのは、最初の差そのものが N で変わるからである（第3節）。

第六に、★ これは市場の性質ではない。 合成乱数でも同じ本数が要る（実測 ÷ 合成 中央 0.9278）。漸化式の算術である（第7節）。

本稿の射程（scope note）：新しい数学定理も新しい法則も主張しない。指数平滑の初期値の減衰は初等的な結果である。特定の商材や提唱者を論じない。実在の教材、その著者、販売元は主題ではなく、一切名指さない。特定の実装を論じない。どの取引ソフトがどう初期化しているかは調べていない（第7節）。売買を論じない。成績も損益も測っていない（第7節）。予言③が外れた。判定の食い違いは値より早く消えた（第5節・第7節）。一致の基準を一つに決めている。価格の刻みの 0.1 倍であり、基準を変えれば本数も変わる（第7節）。射程は日中・少数銘柄に限る。四銘柄・六年・1 時間足の測定である。月次の時系列モメンタム（数十市場・保有1〜12ヶ月）は学術的に文書化されており、本稿はそれを否定しない。予測を主張しない。

1. 記法と問い

指数移動平均は漸化式である。x[t] = a·v[t] + (1−a)·x[t−1]。

観察 1.1：★ 漸化式は過去を捨てない。 初期値の重みは (1−a)^n で減るが、決してゼロにはならない。

観察 1.2：単純移動平均は違う。 ★ 窓から出た値はきっぱり消える。N 本で完全に忘れる。

観察 1.3：分離子は、初期化の方法である。 系列・期間・銘柄をすべて固定し、どこから始めたかだけを変える。

問い：二つの初期化のあいだで、値と判定が食い違うのは何本目までか。

2. 測る量と設計を、先に書く

走らせる前に宣言し、実行時には変えていない。

観察 2.1：★ 「追いつく」の定義が要である。 一度下回るだけでは足りない。二度と超えなくなった位置を取る。

観察 2.2：比べる区間は 29,892 から 31,534 本である。 ★ 正解はその 5,000 本前から始めており、N=200 の 25 倍にあたる。

観察 2.3：★ 初期化 C（ゼロ）は極端である。 だが「最初の差が N によらず同じ」という点で、比例を確かめるのに向いている。

観察 2.4：単純移動平均でも、最初の N−1 本は初期値で埋めた窓で計算する。 ★ 実装でよく見る形である。

予言（測る前に書いた）

① 二つの初期化の差は、(1−a)^n で減る。

② 単純移動平均では、N 本でぴったり一致する（＝有限の記憶）。

③ 値が近づいても、判定の食い違いは長く残る。閾値のすぐ近くでは、わずかな差でも向きが変わるからである。

④ 必要なウォームアップの本数は、期間にほぼ比例する。

⑤ 合成乱数でも同じ本数が要る（＝算術であって市場ではない）。

3. 値が正解に追いつくまで、何本かかるか

「追いつく」＝ 差が価格の刻みの 0.1 倍を下回り、二度と超えない。

計算 3.1 指数移動平均（四銘柄の中央）

観察 3.2：★ これが本稿の芯である。ゼロから始めると、N=200 で 1,168 本かかる。 一時間足なら、およそ七週間ぶんである。

観察 3.3：★ 予言①は当たった。本数 ÷ N は N によらずほぼ一定で、中央 3.18 である。 差が (1−a)^n で減るなら、一定の割合まで落ちるのに要る本数は 1/a、つまり N に比例する。

計算 3.4 初期化ごとに見ると（★ 後から足した）

観察 3.5：★ 予言④は半分当たった。 三つをまとめると最大 ÷ 最小は 3.1064 だが、ゼロから始めた場合だけなら 1.0026 である。

観察 3.6：★ 比例が崩れるのは、最初の差そのものが N で変わるからである。 A と B では最初の差が N=50 の 4.6803 pips から N=200 の 64.8450 pips まで動く。ゼロから始めれば、最初の差は N によらず価格そのものである。

4. 単純移動平均は、有限の記憶で忘れる

計算 4.1 単純移動平均（四銘柄の中央）

観察 4.2：予言②は当たった。 追いつく本数は 19・49・199 で、★ N を超えることは一度も無い。

観察 4.3：手前で止まることはある。 ★ 初期値が近くて、早い段階から基準を下回った場合である。

観察 4.4：★ 最初の差が 11,802.7115 pips あっても、199 本で完全に消える。 窓から出た値は、きっぱり消えるからである。

計算 4.5 指数と単純の比（同じ N・同じ初期化 C ゼロ）

観察 4.6：★ 同じ「N 本の移動平均」という呼び名で、要るウォームアップが 5.87 から 6.13 倍違う。 名前は同じでも、忘れ方が違う。

図1：横が期間 N、縦が追いつくまでの本数（どちらも対数目盛り）。丸が指数移動平均、四角が単純移動平均で、どちらもゼロから始めた場合である。

5. 判定の食い違いは、いつまで残るか

判定 ＝ 価格が移動平均の上か下か。

計算 5.1 値と判定（四銘柄の中央）

観察 5.2：★ 予言③は外れた。判定の食い違いは、値より早く消える。 判定 ÷ 値は中央 0.4787、幅 0.1609 から 0.7945 である。

観察 5.3：★ 理由は単純である。価格は普通ならし線から離れているので、わずかな誤差では上下が入れ替わらない。 私は「閾値のすぐ近く」を考えていたが、そこは全体のごく一部である。

観察 5.4：★ それでも、ゼロから始めた N=200 では最初の 1,000 本の 0.2450 が食い違う。 四本に一本である。

観察 5.5：初期化を選べばずっと小さくなる。 A（最初の値）なら N=200 でも 0.0655 である。★ ただしゼロにはならない。

図2：三つの期間について、値が追いつく本数と判定が一致する本数（ゼロから始めた場合）。

6. RSI（ウィルダー平滑・14）ではどうか

判定 ＝ RSI が 70 を超えたか。

計算 6.1 三つの初期化（四銘柄の中央）

観察 6.2：★ 値が追いつくのに 62 から 66 本かかる。 N=14 の 4.43 から 4.71 倍である。

観察 6.3：★ だが「70 を超えたか」の判定は、ほとんど食い違わない。 A と B では 0 本、C（ゼロから）でも 6 本である。

観察 6.4：★ ここでも、値より判定のほうが早く落ち着く。 RSI が 70 のすぐそばにいる時間が短いからだと読めるが、本稿はそれを測っていない。 RSI の「買われすぎ 70」が足種に属することは [F004] で測ってある。本稿が加えるのは、同じ 70 が初期化にも依るということである。

観察 6.5：最初の差は、ゼロから始めると 50.4070 もある。 ★ RSI は 0 から 100 の量なので、その半分である。

7. 基準線と限界

計算 7.1 合成乱数で同じことをする（追いつく本数）

観察 7.2：予言⑤は当たった。 実測 ÷ 合成乱数は中央 0.9278、幅 0.5987 から 1.0069 である。

観察 7.3：★ ゼロから始めた場合は 1.0043・1.0069・1.0056 と、ほとんど一致する。 最初の差が系列に依らないからである。

観察 7.4：★ つまりこれは市場の性質ではなく、漸化式の算術である。 どんな系列でも、同じだけ覚えている。 この基準線が何についてゼロなのかは [F033] で測ってある。

限界

1. ⚠️ 予言③が外れた。 判定の食い違いは値より早く消えた。本稿はその外れを書き、理由（価格は普通ならし線から離れている）まで述べている。
2. 一致の基準を一つに決めている。 価格の刻みの 0.1 倍であり、基準を変えれば本数も変わる。
3. 特定の実装を論じていない。 どの取引ソフトがどう初期化しているかは調べていない。
4. 売買を論じていない。 成績も損益も測っていない。
5. RSI の判定が食い違わない理由を測っていない。 70 の近くにいる時間が短いためと読めるが、測っていない。
6. 初期化を三通りに固定している。 実装には他の形もある。
7. 格子を一つに固定している。 1 時間足だけである。
8. 四銘柄・六年である。 他の市場、他の期間について述べるものではない。

結び

指数移動平均は漸化式である。だから、どこから始めたかがいつまでも残る。

★ ゼロから始めると、正解に追いつくまで N=20 で 116 本・N=50 で 292 本・N=200 で 1,168 本かかる。 一時間足なら、N=200 でおよそ七週間ぶんである。

★ 本数 ÷ N は 5.83・5.84・5.84 で、最大 ÷ 最小が 1.0026。ほぼ完全に比例する。 差が (1−a)^n で減るなら、そうなる。

単純移動平均は N 本で忘れる。 追いつく本数は 19・49・199 で、N を超えることは一度も無い。最初の差が 11,802.7115 pips あっても、199 本で完全に消える。

★ 同じ「N 本の移動平均」という呼び名で、要るウォームアップが 5.87 から 6.13 倍違う。 名前は同じでも、忘れ方が違う。

★ 予言は二つ外れた。 一つは、判定の食い違いが値より早く消えたことである（判定 ÷ 値 中央 0.4787）。価格は普通ならし線から離れているので、わずかな誤差では上下が入れ替わらない。私は「閾値のすぐ近く」を考えていたが、そこは全体のごく一部だった。

★ もう一つは比例で、三つの初期化をまとめると最大 ÷ 最小が 3.1064 になる。 ゼロから始めた場合だけなら 1.0026 である。崩れるのは、最初の差そのものが N で変わるからである。

★ そしてこれは市場の性質ではない。 合成乱数でも同じ本数が要る（実測 ÷ 合成 中央 0.9278、ゼロから始めた場合は 1.0043・1.0069・1.0056）。漸化式の算術である。

したがって、指数平滑を使うときに必要なのは、期間の約六倍のウォームアップである。 ★ そして「値がもう合っている」と「判定がもう合っている」は別の時点であり、本稿の測定では判定のほうが先に落ち着いた。 だが N=200 をゼロから始めると、最初の 1,000 本の 0.2450 は上下が食い違う。

データと再現

参考文献

• 山岸勇輝 (2026). RSI の「買われすぎ 70」は、自分が選んだ足種に属している [F004]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22881156
• 山岸勇輝 (2026). 合成乱数には、ボラティリティの群れが無い [F033]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22893674

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「指数移動平均は、初期値を何本も覚えている」［F045］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22895092

@misc{yamagishi2026yoiF045,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {An Exponential Moving Average Remembers Its Starting Value for Hundreds of Bars},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/F045},
  doi = {10.5281/zenodo.22895092},
  note = {Preprint}
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