Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文641 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/641 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22805478）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文641】ABC 予想は多項式では定理で、整数では予想である

@misc{yamagishi2026yoi641,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ABC Conjecture Is a Theorem for Polynomials and a Conjecture for Integers: Integers Lack the Derivative},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/641},
  doi = {10.5281/zenodo.22805478},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

互いに素な正の整数 $a+b=c$ について、$abc$ を割る相異なる素数の積を $\mathrm{rad}(abc)$ と書き、質を $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$ とする。ABC 予想は、どんな $\varepsilon>0$ についても $q>1+\varepsilon$ となる組は有限個しかない、と言う。多項式でも同じ問いが立ち、そこでは定理である。本稿は証明をせず、両方を数えて並べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、整数では $q>1$ の組がある。$q>1$ の組は、$c<10^2$ で $6$ 組、$10^3$ で $31$ 組、$10^4$ で $120$ 組、$10^5$ で $418$ 組、$10^6$ で $1268$ 組だった。$c<10^3$ の互いに素な組 $151895$ 組のうちでは $31$ 組、割合 $0.000204$ である（第2節）。

第二に、$1$ を大きく超える組はまれである。$c<10^6$ の $1268$ 組のうち、$q>1.2$ は $102$ 組、$q>1.4$ は $11$ 組、$q>1.5$ は $2$ 組だけで、最高は $1+4374=4375$ の $1.567887$ である。質の最高として知られる $2+3^{10}\times109=23^5$ は $\mathbf{1.629912}$ だった。$1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$ は $k=1$ から $6$ まで $q>1$ が続くが、$k=2$ の $1.292030$ から $k=6$ の $1.056393$ へと $1$ に近づく（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。多項式では、同じ不等式が一度も破れない。互いに素な多項式 $a+b=c$ では、$\max\deg$ が $abc$ の相異なる根の数 $-1$ を超えない（メイソン＝ストザースの定理）。整数の $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ に当たるこの不等式は、重なった根を持つように作った $600$ 組で一度も破れず、$a=x^n$、$c=(x+1)^n$ の族では $n=2$ から $8$ まで等号になった（第4節）。

第四に、多項式の証明は微分を使い、整数にはその微分が無い。ロンスキアン $W=ab’-a’b$ は $0$ でなく、重さ $m$ で重なった根ごとに $m-1$ 回ずつ割り切れる。$600$ 組すべてで、$W$ は $abc/\mathrm{rad}(abc)$ で割り切れた。この一歩が多項式の不等式を生む。整数には $a’$ に当たるものが無く、この一歩が写らない（第5節）。

キーワード：ABC 予想、根基、メイソン＝ストザーズの定理、多項式、ロンスキアン

Abstract

For coprime positive integers $a+b=c$, write $\mathrm{rad}(abc)$ for the product of the distinct primes dividing $abc$, and define the quality $q=\log c/\log\mathrm{rad}(abc)$. The ABC conjecture says that for every $\varepsilon>0$ only finitely many triples have $q>1+\varepsilon$.The same question can be posed for polynomials, where it is a theorem. This paper proves nothing; it counts both and sets them side by side.No new theorem or law is claimed.

First, among integers there are triples with $q>1$、triples with $q>1$ number $6$ with $c<10^2$, $31$ with $10^3$, $120$ with $10^4$, $418$ with $10^5$ and $1268$ with $10^6$. Among the $151895$ coprime triples with $c<10^3$ there are $31$, a share of $0.000204$ (Section 2).

Second, triples far above $1$ are rare、of the $1268$ triples with $c<10^6$, $102$ have $q>1.2$, $11$ have $q>1.4$ and only $2$ have $q>1.5$; the highest is $1+4374=4375$ at $1.567887$. The triple known for the highest quality, $2+3^{10}\times109=23^5$, has $\mathbf{1.629912}$. The family $1+(3^{2^k}-1)=3^{2^k}$ keeps $q>1$ for $k=1$ to $6$, but approaches $1$, from $1.292030$ at $k=2$ to $1.056393$ at $k=6$ (Section 3).

Third, and this is the core.For polynomials, the same inequality never fails、for coprime polynomials $a+b=c$, $\max\deg$ does not exceed the number of distinct roots of $abc$ minus $1$ (the Mason–Stothers theorem). This inequality, the counterpart of $\log c\le\log\mathrm{rad}(abc)$ for integers, never failed in $600$ triples built to have repeated roots, and the family $a=x^n$, $c=(x+1)^n$ reached equality for $n=2$ to $8$ (Section 4).

Fourth, the polynomial proof uses the derivative, and integers have no such derivative、the Wronskian $W=ab’-a’b$ is not $0$ and is divisible $m-1$ times by each root repeated with weight $m$. In all $600$ triples, $W$ was divisible by $abc/\mathrm{rad}(abc)$. This step yields the polynomial inequality. Integers have nothing corresponding to $a’$, and the step does not carry over (Section 5).

Keywords: abc conjecture, radical, Mason-Stothers theorem, polynomials, Wronskian

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/641/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/641 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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