Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1003 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1003 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823587）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1003】ポアンカレ予想は圏ごとに別の問いで、PL でも微分でも開いたままの次元は 4 だけである

@misc{yamagishi2026yoi1003,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Poincaré Conjecture Is a Different Question in Each Category, and Only Dimension Four Stays Open in Both PL and Smooth},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1003},
  doi = {10.5281/zenodo.22823587},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ポアンカレ予想は「n 次元の球面とホモトピー同値な閉多様体は球面か」を問うが、「球面と同じ」を位相（TOP）・区分線形（PL）・微分（DIFF）のどの圏で読むかで、三つの別の問いになる。本稿は、次元を列、三つの圏を行とする表を作り、書き写した定理と、ベルヌーイ数から計算した数で、表のますを数える。新しい定理は主張せず、どのますも解かない。

第一に、位相の行はすべての次元で正しく、PL の行で開いているのは 4 次元だけである。1・2 次元は古典、3 次元はペレルマン、4 次元はフリードマン（1982）、5 次元以上はスメイル（1961）とニューマン（1966）が位相の行を閉じた。次元 1〜8 で PL と微分がそろって未決なのは 4 次元の一つだけである（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。5・6 次元は二つの範囲の重なりに入って微分まで決まり、4 次元は片方にだけ入る。PL と微分が同じ構造を与える範囲（6 次元以下）と、h-同境定理の範囲（5 次元以上）の重なりは 5・6 の 2 個で、そこでは PL の予想が微分の予想を運ぶ。6 次元以下にだけ入るのは 1・2・3・4 の 4 個で、1〜3 は三つの圏が一つに畳まれて閉じ、4 だけが PL でも微分でも開く（第3節）。

第三に、1〜139 次元の微分の行は、一つ 8・未決 1・異種球面あり 130 である。微分構造が一つなのは 1・2・3・5・6・12・56・61（奇数は Wang＝Xu 2017、140 未満の偶数は Behrens ら 2020 の書き写し）で、5 次元以上にだけ入る 7〜139 の 133 個のうち一つなのは 12・56・61 の 3 個、割合 $\mathbf{0.022556}$ である（第4節）。

第四に、ベルヌーイ数だけで決まるのは、異種球面のある 130 次元のうち 34 次元である。bP の位数をベルヌーイ数から計算すると 28・992・8128・261632 で、書き写した表と一致した（ゼータ関数からのベルヌーイ数とは相対差 $4.290$×10⁻¹⁴ 以内）。4 で割って 3 余る 7〜139 の 34 次元はどれも位数が 28 以上で異種球面を持ち、割合は $\mathbf{0.261538}$ である（第4節）。

第五に、bP の位数の因子は完全数の形をしている。位数そのものが完全数になるのは 28 と 8128 だけで（k＝2〜35）、992 は完全数 496 のちょうど 2 倍、約数の和の比 $\mathbf{2.032258}$ の過剰数である。形が同じことを数えるだけで、理由は言わない（第5節）。

第六に、分離子は、次元が 6 以下か 5 以上かである。両方に入る 5・6 は微分まで決まり、6 以下にだけ入る 4 は PL と微分がそろって開き、5 以上にだけ入る 7 以上は異種球面の群の位数が微分の答えを決める（第6節）。

キーワード：ポアンカレ予想、異種球面、h-同境定理、区分線形多様体、微分構造、ベルヌーイ数

Abstract

The Poincaré conjecture asks whether a closed manifold homotopy equivalent to the n-sphere is the sphere, but it becomes three different questions depending on whether being the same as the sphere is read in the topological (TOP), piecewise linear (PL) or smooth (DIFF) category.This paper builds a table with dimensions as columns and the three categories as rows, and counts its cells using transcribed theorems and numbers computed from Bernoulli numbers.No new theorem is claimed and no cell is solved.

First, the topological row holds in every dimension, and the only open cell in the PL row is dimension 4、dimensions 1 and 2 are classical, 3 is Perelman, 4 is Freedman (1982), and 5 and above are Smale (1961) and Newman (1966). Among dimensions 1 to 8, the only one open in both PL and smooth is dimension 4 (Section 2).

Second, and this is the core. Dimensions 5 and 6 lie in the overlap of two ranges and are settled even smoothly, while dimension 4 lies in only one、the range where PL and smooth give the same structures (dimension at most 6) and the range of the h-cobordism theorem (dimension at least 5) overlap in the 2 dimensions 5 and 6, where the PL conjecture carries the smooth one. Only in the first range lie the 4 dimensions 1, 2, 3, 4; in 1 to 3 the three categories fold into one and the question is closed, and only 4 stays open in both PL and smooth (Section 3).

Third, the smooth row for dimensions 1 to 139 has 8 with a unique structure, 1 open and 130 with exotic spheres、the dimensions with a unique smooth structure are 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56, 61 (transcribed: odd ones from Wang and Xu 2017, even ones below 140 from Behrens et al. 2020). Of the 133 dimensions from 7 to 139 lying only in the second range, 3 (12, 56, 61) have a unique structure, a fraction of $\mathbf{0.022556}$ (Section 4).

Fourth, Bernoulli numbers alone decide 34 of the 130 dimensions with exotic spheres、computing the order of bP from Bernoulli numbers gives 28, 992, 8128, 261632, matching the transcribed table (Bernoulli numbers from the zeta function agree within a relative difference of $4.290$×10⁻¹⁴). The 34 dimensions from 7 to 139 that leave remainder 3 on division by 4 all have order at least 28 and hence exotic spheres, a fraction of $\mathbf{0.261538}$ (Section 4).

Fifth, the factor in the order of bP has the form of a perfect number、the order itself is a perfect number only for 28 and 8128 (k = 2 to 35); 992 is exactly twice the perfect number 496 and is abundant with divisor-sum ratio $\mathbf{2.032258}$. Only the shared form is counted, and no reason is given (Section 5).

Sixth, the separator is whether the dimension is at most 6 or at least 5、5 and 6, in both, are settled smoothly; 4, only at most 6, is open in both PL and smooth; 7 and above, only at least 5, have the smooth answer decided by the order of the group of exotic spheres (Section 6).

Keywords: Poincaré conjecture, exotic sphere, h-cobordism theorem, piecewise linear manifold, smooth structure, Bernoulli number

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1003/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1003 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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