Les mathématiques et la physique ont plusieurs théorèmes célèbres, solides comme le roc, comme le théorème de Noether ou celui de Gauss-Bonnet. Tous affirment des choses fortes, mais chacun ne vaut qu’à l’intérieur de ses hypothèses. Regarder ce qui casse quand on retire une hypothèse rend souvent plus clair ce que le théorème dit vraiment.
Dans mes articles, j’essaie toujours d’écrire ce qu’il faut changer pour qu’une chose en devienne une autre (je l’appelle le séparateur). J’ai donc choisi 38 théorèmes célèbres, je les ai répartis en sept groupes et j’ai indiqué pour chacun ce qu’il dit, ce qu’il suppose et ce qui casse sans ces hypothèses. J’ai aussi compté combien de mes 1 097 articles nomment chaque théorème dans leur texte principal.
Les théorèmes que mes articles utilisent le plus
Les plus fréquents sont la formule d’Euler pour les polyèdres (la caractéristique d’Euler) et le théorème de Gauss-Bonnet, avec 32 articles chacun. Vient ensuite mon propre théorème d’unicité, avec 21 (65 articles citent cet article 01 dans leurs références). 166 articles, soit 15,1 % du total, nomment au moins un des 38 théorèmes.
J’ai compté les articles dont le texte principal (avant les références) mentionne le nom du théorème, et non la profondeur de son usage. Les mentions d’un autre théorème portant le même nom (par exemple la borne de Hurwitz sur l’approximation, le théorème de Liouville de l’analyse complexe ou le paradoxe de Bertrand) ont été lues et retirées. L’ensemble des textes principaux contient 215 noms différents de la forme « théorème, loi, inégalité ou conjecture de quelqu’un ».
1. Identités et dénombrement : cela doit donner ce résultat
Des théorèmes selon lesquels, quand on compte des nombres ou des formes, le résultat est forcé.
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Théorème de Pythagore (Antiquité ; démontré dans les Éléments d’Euclide) | Dans un triangle rectangle, a² + b² = c² | un plan (géométrie euclidienne) | Sur une sphère, l’hypoténuse raccourcit : c² est plus petit que a² + b² | 2 (904 · 1016) |
| Identité d’Euler (Euler, 1748) | eiπ + 1 = 0 | étendre l’exponentielle aux nombres complexes (eiθ = cos θ + i sin θ) | Avec les seuls nombres réels, ex n’est jamais négatif | 0 |
| Théorème fondamental de l’algèbre (Gauss, 1799) | Une équation de degré n a n solutions dans les nombres complexes (en comptant les répétitions) | chercher les solutions parmi les nombres complexes | Avec les seuls réels, x² + 1 = 0 n’a pas de solution | 1 (520) |
| Dernier théorème de Fermat (Wiles, 1995) | Pour n supérieur ou égal à 3, aucun triplet d’entiers positifs ne vérifie xⁿ + yⁿ = zⁿ | entiers positifs, n au moins 3 | Pour n = 2 il y en a une infinité, comme 3² + 4² = 5² | 2 (642 · 1016) |
| Théorème d’unicité (mes articles 01 et 08) | En dimension d, quand une densité décroît comme la puissance n de la distance, chaque couche pèse pareil seulement pour n = d − 1 (2 en dimension trois, 3 en dimension quatre) | symétrie sphérique | Si la forme n’est pas une sphère, le poids d’une couche dépend de la direction | 21 (1 · 8 · 1097) |
La dernière ligne est un théorème de mes propres articles, une prépublication non évaluée par des pairs. Je l’ai placée ici pour la mesurer avec la même règle que les autres (les hypothèses, et ce qui casse sans elles).
2. Forme : inchangée quand on la plie
Des théorèmes sur des propriétés qui ne changent pas quand on plie ou étire une forme comme du caoutchouc (topologie).
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Formule d’Euler pour les polyèdres (Euler, 1750) | Pour un polyèdre, sommets − arêtes + faces = 2 (ce nombre est la caractéristique d’Euler) | une forme sans trou (comme une sphère) | Pour un polyèdre en forme d’anneau, elle vaut 0 | 32 (128 · 224 · 1014) |
| Théorème de Gauss-Bonnet (Gauss, 1827 ; Bonnet, 1848) | La somme de la courbure (courbure de Gauss) d’une surface fermée vaut 2π × la caractéristique d’Euler (4π pour une sphère) | une surface fermée lisse sans bord | S’il y a un bord, il faut ajouter la courbure du bord | 32 (91 · 316 · 1050) |
| Théorème de Poincaré-Hopf (Poincaré, années 1880 ; Hopf, 1926) | Sur une surface fermée, les indices des points où un écoulement (champ de vecteurs) s’arrête ont pour somme la caractéristique d’Euler | surface fermée sans bord, points d’arrêt isolés | Avec un bord, il faut une condition sur la direction de l’écoulement au bord | 11 (67 · 128 · 316) |
| Théorème de la boule chevelue (Poincaré, 1885 ; Brouwer, 1912) | On ne peut pas peigner à plat les cheveux d’une boule sans laisser un épi quelque part | une sphère de dimension paire (comme la sphère ordinaire) | Sur un tore, un cercle ou la sphère de dimension trois, c’est possible | 4 (67 · 115 · 128) |
| Théorème du point fixe (Brouwer, 1911, et d’autres) | Une application continue d’un disque dans lui-même laisse toujours un point immobile | continue, une forme fermée sans trou | Sur un anneau (une forme trouée), une simple rotation déplace tous les points | 5 (161 · 622 · 1073) |
| Conjecture de Poincaré (posée en 1904 ; résolue par Perelman, 2002–2003) | Une forme fermée de dimension trois où toute boucle peut se contracter est la même forme que la sphère de dimension trois | fermée, toute boucle se contracte en un point | Si une boucle ne peut pas se contracter (comme dans le tore de dimension trois), la forme est différente | 11 (7 · 8 · 1003) |
| Théorème des quatre couleurs (Appel et Haken, 1976) | Quatre couleurs suffisent pour colorier une carte du plan de sorte que les voisins diffèrent | le plan (ou la sphère), chaque pays d’un seul tenant | Sur un tore, certaines cartes demandent sept couleurs | 2 (303 · 538) |
| Théorème de Jordan (Jordan, 1887) | Une courbe fermée du plan qui ne se recoupe pas divise le plan en un intérieur et un extérieur | le plan | Sur un tore, certaines boucles ne le coupent pas en deux | 0 |
3. Courbure et intégrales : mesurer de l’intérieur, relier l’intérieur et le bord
Des théorèmes qui mesurent la courbure d’une surface ou d’un espace de l’intérieur, et d’autres qui relient ce qui se passe à l’intérieur à ce qui se passe au bord.
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Theorema egregium de Gauss (Gauss, 1827) | La courbure de Gauss d’une surface se détermine en mesurant des longueurs dans la surface seule (sans la regarder de l’extérieur) | courbure de Gauss (le produit des courbures dans deux directions) | La courbure moyenne ne se détermine pas sans regarder de l’extérieur ; en roulant une feuille de papier, sa courbure de Gauss reste 0 | 5 (91 · 158 · 409) |
| Théorème de flux-divergence et théorème de Stokes (Gauss, 1813 ; Ostrogradski, 1826 ; Kelvin et Stokes, 1850–1854) | Le total de ce qui jaillit à l’intérieur est égal au total qui sort par le bord | un champ lisse et une région à bord | S’il y a un point singulier à l’intérieur (comme une charge ponctuelle), il faut le compter à part | 8 (35 · 92 · 912) |
| Loi de Gauss (Lagrange, 1773 ; Gauss, 1835) | Le total du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge intérieure | une force qui décroît comme le carré de la distance (en dimension trois) | Sans le carré, le total change avec la taille de la surface | 18 (1 · 2 · 1082) |
| Inégalité isopérimétrique (connue depuis l’Antiquité ; preuves rigoureuses au XIXe siècle) | À périmètre égal, le cercle enferme la plus grande aire | un plan | Sur une surface courbe, la borne prend une autre forme | 3 (205 · 326 · 1007) |
| Théorème de l’indice d’Atiyah-Singer (Atiyah et Singer, 1963) | La différence entre nombres de solutions, comptée avec une équation différentielle, ne dépend que de la forme (topologie) | un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte | Avec un bord, il faut une correction venant du bord (l’invariant η) | 13 (70 · 128 · 1058) |
Le « seulement au carré » de la loi de Gauss est le même endroit que mon théorème d’unicité (n = 2 en dimension trois), vu d’un autre côté. Le théorème de Gauss-Bonnet est contenu dans le théorème de l’indice d’Atiyah-Singer comme cas particulier.
4. Symétrie et conservation : si rien ne change, quelque chose se conserve
Des théorèmes selon lesquels, quand un changement laisse les lois identiques (une symétrie), quelque chose se conserve.
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Théorème de Noether (Noether, 1918) | À chaque symétrie continue qui laisse l’action inchangée correspond une quantité conservée | un système dont le mouvement découle d’une action (lagrangien), une symétrie continue | Avec frottement, rien n’est conservé ; pour des symétries qui varient d’un point à l’autre (de jauge), on obtient des identités et non des lois de conservation (second théorème) | 17 (80 · 107 · 310) |
| Théorème de Liouville (Liouville, 1838) | Le volume dans l’espace des positions et des impulsions (espace des phases) ne change pas avec le temps | un système sans frottement (système hamiltonien) | Avec frottement, le volume se contracte | 17 (77 · 78 · 135) |
| Théorème de Goldstone (Nambu, 1960 ; Goldstone, 1961 ; preuve générale en 1962) | Quand une symétrie continue se brise spontanément, une onde (particule) sans masse apparaît | une symétrie identique partout (globale) | Avec un champ de jauge, la particule est absorbée et devient massive (mécanisme de Higgs) | 2 (175 · 286) |
| Théorème spin-statistique (Fierz, 1939 ; Pauli, 1940) | Les particules de spin demi-entier ne peuvent pas partager un état (fermions) ; celles de spin entier peuvent se rassembler (bosons) | théorie quantique des champs relativiste, espace de dimension trois | Dans un monde de dimension deux, des particules intermédiaires (anyons) sont possibles | 2 (112 · 1087) |
| Théorème CPT (Schwinger, 1951 ; Lüders, 1954 ; Pauli, 1955) | Échanger particules et antiparticules, refléter l’espace et inverser le temps, tout à la fois, laisse les lois inchangées | théorie quantique des champs locale et relativiste | Pour des théories non relativistes, cette garantie n’existe pas | 0 |
Dans le théorème de Noether, ce qu’on peut changer sans changer les lois correspond à ce qui se conserve :
| Ce qu’on peut changer sans changer les lois (symétrie) | Quantité conservée |
|---|---|
| décaler le temps | énergie |
| décaler la position | quantité de mouvement |
| tourner la direction | moment cinétique |
| tourner la phase d’une onde quantique | charge électrique |
5. Unicité : dans ces conditions, seulement ceci
Des théorèmes selon lesquels, une fois les conditions fixées, la réponse se réduit à une seule (ou à quelques-unes).
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Théorème de Stone-von Neumann (Stone, 1930 ; von Neumann, 1931) | Il n’y a essentiellement qu’une seule façon de représenter la relation de commutation quantique entre position et impulsion | nombre fini de degrés de liberté, irréductible, fortement continue (forme de Weyl) | Avec une infinité de degrés de liberté (théorie quantique des champs), il existe de nombreuses représentations non équivalentes | 1 (127) |
| Théorème de Hurwitz (Hurwitz, 1898) | Les systèmes de nombres où l’on peut multiplier et diviser en conservant les longueurs n’existent qu’en dimensions 1, 2, 4 et 8 (réels, complexes, quaternions, octonions) | la division est possible et les longueurs se multiplient | En dimension 16 (sédénions), deux nombres non nuls peuvent avoir un produit nul | 3 (114 · 115 · 231) |
| Théorème de Bertrand (Bertrand, 1873) | Les seules forces centrales pour lesquelles toute orbite se referme sont l’attraction en inverse du carré et la force d’un ressort | une force dirigée vers un centre, toutes les orbites liées | Pour d’autres forces, l’orbite tourne lentement (précession) | 11 (15 · 28 · 1072) |
| Les cinq solides de Platon (Éléments d’Euclide) | En dimension trois, il n’existe que cinq polyèdres réguliers : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre | dimension trois, sans creux (convexe) | En dimension quatre il y en a six sortes ; à partir de la dimension cinq, trois | 3 (114 · 209 · 224) |
| Théorème de Gleason (Gleason, 1957) | La seule façon d’attribuer des probabilités quantiques est le carré de la taille de l’onde (règle de Born) | dimension trois ou plus, une attribution qui ne dépend pas du regroupement des mesures | En dimension deux (un qubit), d’autres attributions sont possibles | 11 (11 · 71 · 157) |
6. Motifs dans les nombres et le hasard : ce qui apparaît quand on en rassemble beaucoup
Des règles qui apparaissent quand on rassemble beaucoup de nombres premiers ou de fluctuations aléatoires.
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Théorème des nombres premiers (Hadamard et de la Vallée Poussin, 1896) | Le nombre de nombres premiers jusqu’à x vaut environ x ÷ ln x | x grand (le rapport tend vers 1) | Pour x petit, l’écart se voit | 3 (6 · 769 · 1018) |
| Théorème de la progression arithmétique (Dirichlet, 1837) | Si a et d n’ont pas de facteur commun, a, a + d, a + 2d, … contient une infinité de nombres premiers | a et d sans facteur commun | Avec un facteur commun, il apparaît au plus un nombre premier | 0 |
| Théorème de Green-Tao (Green et Tao, annoncé en 2004, publié en 2008) | Les nombres premiers contiennent des progressions arithmétiques aussi longues que l’on veut | longueur finie (aussi longue que l’on veut) | Aucune progression arithmétique de nombres premiers ne continue indéfiniment | 0 |
| Théorème central limite (de de Moivre, 1733, à Laplace, 1812, puis Lyapounov, 1901) | En additionnant beaucoup de fluctuations indépendantes, la distribution de la somme s’approche de la loi normale (la courbe en cloche) | indépendance, dispersion finie | Pour des fluctuations de dispersion infinie (comme la loi de Cauchy), le résultat n’est pas normal | 3 (187 · 190 · 655) |
7. Ce qui est impossible : énoncer les limites
Des théorèmes qui disent : quoi qu’on fasse, cela est impossible. Une limite claire rend aussi clair ce qui est possible.
| Théorème (qui, quand) | Ce qu’il dit | Hypothèses | Sans les hypothèses | Mes articles |
|---|---|---|---|---|
| Théorème d’incomplétude de Gödel (Gödel, 1931) | Un système cohérent qui contient l’arithmétique des entiers a des énoncés qu’il ne peut ni démontrer ni réfuter | contient l’arithmétique, cohérent, axiomes énumérables par une machine | Certains systèmes, comme la géométrie élémentaire des réels, tranchent tous les énoncés | 3 (189 · 259 · 525) |
| Théorème d’impossibilité d’Arrow (Arrow, 1951) | Avec trois options ou plus, aucune façon d’agréger les votes ne satisfait en même temps quelques conditions d’équité simples | trois options ou plus, seuls les classements comptent | Avec deux options, la règle de la majorité satisfait les conditions | 1 (184) |
| Théorème de Bell (Bell, 1964) | Les schémas qui fixent d’avance les résultats en chaque lieu (variables cachées locales) ne reproduisent pas les corrélations quantiques (2√2 pour la valeur CHSH ; leur limite est 2) | localité, libre choix de la mesure | Des théories où des lieux éloignés sont directement liés peuvent les reproduire | 6 (160 · 227 · 1062) |
| Théorème de Kochen-Specker (Kochen et Specker, 1967) | On ne peut pas supposer que toutes les grandeurs ont des valeurs avant la mesure, indépendamment du regroupement des mesures | dimension trois ou plus | En dimension deux, c’est possible | 3 (11 · 41 · 71) |
| Théorème de non-clonage (Wootters et Zurek ; Dieks, 1982) | Un état quantique inconnu ne peut pas être copié exactement | l’état n’est pas connu d’avance | Un ensemble fixé d’états orthogonaux peut être copié | 1 (281) |
| Théorème du codage de canal (Shannon, 1948) | En dessous de la capacité du canal, on peut transmettre avec aussi peu d’erreurs que l’on veut ; au-dessus, non | on peut utiliser des codes longs | Avec des codes courts, des erreurs subsistent | 2 (163 · 536) |
Comment les théorèmes se relient
Les sept groupes ne sont pas séparés. La caractéristique d’Euler figure à la fois dans le théorème de Poincaré-Hopf et dans celui de Gauss-Bonnet, et Gauss-Bonnet s’élargit au théorème de l’indice d’Atiyah-Singer. Le théorème de la boule chevelue découle de celui de Poincaré-Hopf. Appliquer le théorème de flux-divergence au champ électrique donne la loi de Gauss, et son « seulement au carré » est la place de mon théorème d’unicité.
Les deux paires de la colonne de droite ont la forme d’un séparateur. Si l’on passe du carré au cube ou au-delà dans le théorème de Pythagore, les solutions disparaissent selon le dernier théorème de Fermat. Le théorème de Dirichlet dit qu’une progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers, mais pas que tous ses termes sont premiers ; le théorème de Green-Tao répond que des progressions dont tous les termes sont premiers peuvent être aussi longues que l’on veut, en gardant l’hypothèse qu’elles ne continuent pas indéfiniment.
Chronologie
Beaucoup de théorèmes sur la courbure et les intégrales datent du XIXe siècle, et beaucoup de ceux sur la symétrie et le monde quantique du XXe. Le plus récent, le théorème de Green-Tao, a été annoncé en 2004.
Les théorèmes célèbres que je n’ai pas encore utilisés
Sur les 38, cinq ne sont encore nommés dans le texte principal d’aucun de mes articles : l’identité d’Euler, le théorème de Jordan, le théorème CPT, le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet et le théorème de Green-Tao. Chacun montre clairement ce qui casse sans ses hypothèses ; je les garde comme graines pour de futurs articles.
À propos de cet article
Cet article ne prétend établir aucun théorème nouveau. J’ai abrégé l’énoncé des théorèmes pour les rendre plus lisibles ; leur forme exacte se trouve dans les sources originales ou les manuels. Les noms et les années ont été vérifiés dans des encyclopédies et les références des articles originaux. Le nombre de mes articles a été compté par machine sur le texte principal de 1 097 articles, en retirant après lecture les mentions d’un autre théorème de même nom. Le théorème d’unicité vient de mes propres articles, et tous mes articles sont des prépublications non évaluées par des pairs (les pages sont en japonais, avec les PDF des articles en japonais et en anglais).
Les articles précédents « Une carte des lois en inverse du carré » et « Additionnez les points d’un papier quadrillé, et la réponse dépend de la forme » sont écrits avec la même règle : que faut-il changer pour qu’une chose en devienne une autre ?