Matematica e fisica hanno diversi teoremi famosi, solidi come la roccia, come il teorema di Noether o quello di Gauss-Bonnet. Tutti affermano cose forti, ma ciascuno vale solo dentro le proprie ipotesi. Guardare che cosa si rompe togliendo un’ipotesi rende spesso più chiaro che cosa dice davvero il teorema.
Nei miei articoli cerco sempre di scrivere che cosa bisogna cambiare perché una cosa ne diventi un’altra (lo chiamo separatore). Così ho scelto 38 teoremi famosi, li ho divisi in sette gruppi e per ciascuno ho indicato che cosa dice, che cosa suppone e che cosa si rompe senza le ipotesi. Ho anche contato quanti dei miei 1.097 articoli nominano ciascun teorema nel testo principale.
I teoremi che i miei articoli usano di più
I più frequenti sono la formula di Eulero per i poliedri (la caratteristica di Eulero) e il teorema di Gauss-Bonnet, con 32 articoli ciascuno. Segue il mio teorema di unicità con 21 (65 articoli citano quell’articolo 01 nella bibliografia). 166 articoli, il 15,1% del totale, nominano almeno uno dei 38 teoremi.
Ho contato gli articoli il cui testo principale (prima della bibliografia) menziona il nome del teorema, non quanto a fondo lo usano. Le menzioni di un altro teorema con lo stesso nome (per esempio il limite di Hurwitz per l’approssimazione, il teorema di Liouville dell’analisi complessa o il paradosso di Bertrand) sono state lette e tolte. Nei testi principali compaiono in tutto 215 nomi diversi della forma «teorema, legge, disuguaglianza o congettura di qualcuno».
1. Identità e conteggio: deve venire così
Teoremi secondo cui, contando numeri o forme, il risultato è obbligato.
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Teorema di Pitagora (antichità; dimostrato negli Elementi di Euclide) | In un triangolo rettangolo, a² + b² = c² | un piano (geometria euclidea) | Su una sfera l’ipotenusa si accorcia: c² è minore di a² + b² | 2 (904 · 1016) |
| Identità di Eulero (Eulero, 1748) | eiπ + 1 = 0 | estendere l’esponenziale ai numeri complessi (eiθ = cos θ + i sin θ) | Con i soli numeri reali, ex non è mai negativo | 0 |
| Teorema fondamentale dell’algebra (Gauss, 1799) | Un’equazione di grado n ha n soluzioni nei numeri complessi (contando le ripetizioni) | cercare le soluzioni tra i numeri complessi | Con i soli reali, x² + 1 = 0 non ha soluzioni | 1 (520) |
| Ultimo teorema di Fermat (Wiles, 1995) | Per n pari o maggiore di 3, nessuna terna di interi positivi soddisfa xⁿ + yⁿ = zⁿ | interi positivi, n almeno 3 | Per n = 2 ce ne sono infinite, come 3² + 4² = 5² | 2 (642 · 1016) |
| Teorema di unicità (miei articoli 01 e 08) | In dimensione d, quando una densità decresce come la potenza n della distanza, ogni guscio pesa uguale solo per n = d − 1 (2 in tre dimensioni, 3 in quattro) | simmetria sferica | Se la forma non è una sfera, il peso di un guscio cambia con la direzione | 21 (1 · 8 · 1097) |
L’ultima riga è un teorema dei miei articoli, un preprint non sottoposto a revisione paritaria. L’ho messo qui per misurarlo con lo stesso righello degli altri (le ipotesi, e ciò che si rompe senza di esse).
2. Forma: immutata quando la si piega
Teoremi su proprietà che non cambiano quando si piega o si allunga una forma come la gomma (topologia).
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Formula di Eulero per i poliedri (Eulero, 1750) | Per un poliedro, vertici − spigoli + facce = 2 (questo numero è la caratteristica di Eulero) | una forma senza buchi (come una sfera) | Per un poliedro a forma di anello vale 0 | 32 (128 · 224 · 1014) |
| Teorema di Gauss-Bonnet (Gauss, 1827; Bonnet, 1848) | Sommando la curvatura (curvatura di Gauss) di una superficie chiusa si ottiene 2π × la caratteristica di Eulero (4π per una sfera) | una superficie chiusa liscia senza bordo | Se c’è un bordo, bisogna aggiungere la curvatura del bordo | 32 (91 · 316 · 1050) |
| Teorema di Poincaré-Hopf (Poincaré, anni 1880; Hopf, 1926) | Su una superficie chiusa, gli indici dei punti in cui un flusso (campo vettoriale) si ferma hanno per somma la caratteristica di Eulero | superficie chiusa senza bordo, punti di arresto isolati | Con un bordo serve una condizione sulla direzione del flusso al bordo | 11 (67 · 128 · 316) |
| Teorema della palla pelosa (Poincaré, 1885; Brouwer, 1912) | Non si possono pettinare i peli di una palla senza lasciare un vortice da qualche parte | una sfera di dimensione pari (come la sfera ordinaria) | Su un toro, su una circonferenza o sulla sfera tridimensionale si può | 4 (67 · 115 · 128) |
| Teorema del punto fisso (Brouwer, 1911, e altri) | Una funzione continua da un disco in sé lascia sempre fermo almeno un punto | continua, una forma chiusa senza buchi | Su un anello (una forma con un buco) una semplice rotazione sposta ogni punto | 5 (161 · 622 · 1073) |
| Congettura di Poincaré (posta nel 1904; risolta da Perelman, 2002–2003) | Una forma chiusa tridimensionale in cui ogni anello si può contrarre è la stessa forma della sfera tridimensionale | chiusa, ogni anello si contrae in un punto | Se un anello non si può contrarre (come nel toro tridimensionale), la forma è un’altra | 11 (7 · 8 · 1003) |
| Teorema dei quattro colori (Appel e Haken, 1976) | Quattro colori bastano per colorare una carta del piano in modo che i vicini siano diversi | il piano (o la sfera), ogni paese in un solo pezzo | Su un toro alcune carte richiedono sette colori | 2 (303 · 538) |
| Teorema della curva di Jordan (Jordan, 1887) | Una curva chiusa del piano che non si interseca divide il piano in un interno e un esterno | il piano | Su un toro ci sono anelli che non lo dividono in due | 0 |
3. Curvatura e integrali: misurare dall’interno, collegare interno e bordo
Teoremi che misurano la curvatura di una superficie o di uno spazio dall’interno, e altri che collegano ciò che accade dentro a ciò che accade al bordo.
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Theorema egregium di Gauss (Gauss, 1827) | La curvatura di Gauss di una superficie si determina misurando lunghezze solo nella superficie (senza guardarla da fuori) | curvatura di Gauss (il prodotto delle curvature in due direzioni) | La curvatura media non si determina senza guardare da fuori; arrotolando un foglio, la sua curvatura di Gauss resta 0 | 5 (91 · 158 · 409) |
| Teorema della divergenza e teorema di Stokes (Gauss, 1813; Ostrogradskij, 1826; Kelvin e Stokes, 1850–1854) | Il totale di ciò che sgorga all’interno è uguale al totale che esce dal bordo | un campo liscio e una regione con bordo | Se dentro c’è un punto singolare (come una carica puntiforme), va contato a parte | 8 (35 · 92 · 912) |
| Legge di Gauss (Lagrange, 1773; Gauss, 1835) | Il campo elettrico totale attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica interna | una forza che decresce come il quadrato della distanza (in tre dimensioni) | Senza il quadrato, il totale cambia con la grandezza della superficie | 18 (1 · 2 · 1082) |
| Disuguaglianza isoperimetrica (nota dall’antichità; dimostrazioni rigorose nel XIX secolo) | A parità di perimetro, il cerchio racchiude l’area maggiore | un piano | Su una superficie curva il limite prende un’altra forma | 3 (205 · 326 · 1007) |
| Teorema dell’indice di Atiyah-Singer (Atiyah e Singer, 1963) | La differenza tra numeri di soluzioni, contata con un’equazione differenziale, dipende solo dalla forma (topologia) | un operatore differenziale ellittico su una varietà compatta | Con un bordo serve una correzione dal bordo (l’invariante η) | 13 (70 · 128 · 1058) |
Il «solo al quadrato» della legge di Gauss è lo stesso posto del mio teorema di unicità (n = 2 in tre dimensioni), visto dall’altro lato. Il teorema di Gauss-Bonnet è contenuto nel teorema dell’indice di Atiyah-Singer come caso particolare.
4. Simmetria e conservazione: se nulla cambia, qualcosa si conserva
Teoremi secondo cui, quando un cambiamento lascia uguali le leggi (una simmetria), qualcosa si conserva.
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Teorema di Noether (Noether, 1918) | A ogni simmetria continua che lascia invariata l’azione corrisponde una quantità conservata | un sistema il cui moto deriva da un’azione (lagrangiana), una simmetria continua | Con l’attrito nulla si conserva; per simmetrie che cambiano da punto a punto (di gauge) si ottengono identità invece di leggi di conservazione (secondo teorema) | 17 (80 · 107 · 310) |
| Teorema di Liouville (Liouville, 1838) | Il volume nello spazio delle posizioni e degli impulsi (spazio delle fasi) non cambia nel tempo | un sistema senza attrito (hamiltoniano) | Con l’attrito il volume si restringe | 17 (77 · 78 · 135) |
| Teorema di Goldstone (Nambu, 1960; Goldstone, 1961; dimostrazione generale nel 1962) | Quando una simmetria continua si rompe spontaneamente, compare un’onda (particella) senza massa | una simmetria uguale ovunque (globale) | Con un campo di gauge la particella viene assorbita e diventa pesante (meccanismo di Higgs) | 2 (175 · 286) |
| Teorema spin-statistica (Fierz, 1939; Pauli, 1940) | Le particelle di spin semintero non possono condividere uno stato (fermioni); quelle di spin intero possono raccogliersi (bosoni) | teoria quantistica dei campi relativistica, spazio tridimensionale | In un mondo bidimensionale sono possibili particelle intermedie (anioni) | 2 (112 · 1087) |
| Teorema CPT (Schwinger, 1951; Lüders, 1954; Pauli, 1955) | Scambiare particelle e antiparticelle, specchiare lo spazio e invertire il tempo, tutto insieme, lascia invariate le leggi | teoria quantistica dei campi locale e relativistica | Per teorie non relativistiche questa garanzia non c’è | 0 |
Nel teorema di Noether, ciò che si può cambiare lasciando uguali le leggi corrisponde a ciò che si conserva:
| Che cosa si può cambiare lasciando uguali le leggi (simmetria) | Quantità conservata |
|---|---|
| spostare il tempo | energia |
| spostare la posizione | quantità di moto |
| ruotare la direzione | momento angolare |
| ruotare la fase di un’onda quantistica | carica elettrica |
5. Unicità: a queste condizioni, solo questo
Teoremi secondo cui, fissate le condizioni, la risposta si riduce a una sola (o a poche).
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Teorema di Stone-von Neumann (Stone, 1930; von Neumann, 1931) | C’è essenzialmente un solo modo di rappresentare la relazione di commutazione quantistica tra posizione e impulso | numero finito di gradi di libertà, irriducibile, fortemente continua (forma di Weyl) | Con infiniti gradi di libertà (teoria quantistica dei campi) esistono molte rappresentazioni non equivalenti | 1 (127) |
| Teorema di Hurwitz (Hurwitz, 1898) | I sistemi numerici in cui si può moltiplicare e dividere conservando le lunghezze esistono solo nelle dimensioni 1, 2, 4 e 8 (reali, complessi, quaternioni, ottonioni) | la divisione è possibile e le lunghezze si moltiplicano | In dimensione 16 (sedenioni) due numeri non nulli possono avere prodotto nullo | 3 (114 · 115 · 231) |
| Teorema di Bertrand (Bertrand, 1873) | Le sole forze centrali per cui ogni orbita si chiude sono l’attrazione con l’inverso del quadrato e la forza di una molla | una forza diretta verso un centro, tutte le orbite legate | Per altre forze l’orbita ruota lentamente (precessione) | 11 (15 · 28 · 1072) |
| I cinque solidi platonici (Elementi di Euclide) | In tre dimensioni esistono solo cinque poliedri regolari: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro | tre dimensioni, senza rientranze (convessi) | In quattro dimensioni ce ne sono sei tipi; da cinque dimensioni in su, tre | 3 (114 · 209 · 224) |
| Teorema di Gleason (Gleason, 1957) | L’unico modo di assegnare probabilità quantistiche è il quadrato dell’ampiezza dell’onda (regola di Born) | dimensione tre o più, un’assegnazione che non dipende da come si raggruppano le misure | In dimensione due (un qubit) sono possibili altre assegnazioni | 11 (11 · 71 · 157) |
6. Schemi nei numeri e nel caso: ciò che appare raccogliendone molti
Regole che appaiono quando si raccolgono molti numeri primi o molte fluttuazioni casuali.
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Teorema dei numeri primi (Hadamard e de la Vallée Poussin, 1896) | Il numero dei primi fino a x è circa x ÷ ln x | x grande (il rapporto tende a 1) | Per x piccolo lo scarto si vede | 3 (6 · 769 · 1018) |
| Teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche (Dirichlet, 1837) | Se a e d non hanno fattori comuni, a, a + d, a + 2d, … contiene infiniti numeri primi | a e d senza fattori comuni | Con un fattore comune compare al più un numero primo | 0 |
| Teorema di Green-Tao (Green e Tao, annunciato nel 2004, pubblicato nel 2008) | I numeri primi contengono progressioni aritmetiche lunghe quanto si vuole | lunghezza finita (lunga quanto si vuole) | Nessuna progressione aritmetica di primi continua all’infinito | 0 |
| Teorema del limite centrale (da de Moivre, 1733, a Laplace, 1812, fino a Ljapunov, 1901) | Sommando molte fluttuazioni indipendenti, la distribuzione della somma si avvicina alla normale (la curva a campana) | indipendenza, dispersione finita | Per fluttuazioni con dispersione infinita (come la distribuzione di Cauchy) il risultato non è normale | 3 (187 · 190 · 655) |
7. Ciò che è impossibile: dire chiaramente i limiti
Teoremi che dicono: comunque si provi, questo non si può fare. Un limite chiaro rende chiaro anche ciò che si può fare.
| Teorema (chi, quando) | Che cosa dice | Ipotesi | Senza le ipotesi | I miei articoli |
|---|---|---|---|---|
| Teorema di incompletezza di Gödel (Gödel, 1931) | Un sistema coerente che contiene l’aritmetica dei numeri naturali ha enunciati che non può né dimostrare né confutare | contiene l’aritmetica, coerente, assiomi elencabili da una macchina | Alcuni sistemi, come la geometria elementare dei reali, decidono ogni enunciato | 3 (189 · 259 · 525) |
| Teorema dell’impossibilità di Arrow (Arrow, 1951) | Con tre o più opzioni, nessun modo di aggregare i voti soddisfa insieme alcune semplici condizioni di equità | tre o più opzioni, solo le classifiche | Con due opzioni la regola della maggioranza soddisfa le condizioni | 1 (184) |
| Teorema di Bell (Bell, 1964) | Gli schemi che fissano in anticipo i risultati in ogni luogo (variabili nascoste locali) non riproducono le correlazioni quantistiche (2√2 nel valore CHSH; il loro limite è 2) | località, libera scelta della misura | Teorie in cui luoghi lontani sono direttamente collegati possono riprodurle | 6 (160 · 227 · 1062) |
| Teorema di Kochen-Specker (Kochen e Specker, 1967) | Non si può supporre che tutte le grandezze abbiano valori prima della misura, indipendentemente da come si raggruppano le misure | dimensione tre o più | In dimensione due si può | 3 (11 · 41 · 71) |
| Teorema di no-cloning (Wootters e Zurek; Dieks, 1982) | Uno stato quantistico sconosciuto non si può copiare esattamente | lo stato non è noto in anticipo | Un insieme fissato di stati ortogonali si può copiare | 1 (281) |
| Teorema della codifica di canale (Shannon, 1948) | Sotto la capacità del canale si possono trasmettere dati con pochi errori quanto si vuole; sopra, no | si possono usare codici lunghi | Con codici brevi restano errori | 2 (163 · 536) |
Come si collegano i teoremi
I sette gruppi non sono separati. La caratteristica di Eulero compare sia nel teorema di Poincaré-Hopf sia in quello di Gauss-Bonnet, e Gauss-Bonnet si allarga nel teorema dell’indice di Atiyah-Singer. Il teorema della palla pelosa segue da quello di Poincaré-Hopf. Applicando il teorema della divergenza al campo elettrico si ottiene la legge di Gauss, e il suo «solo al quadrato» è il posto del mio teorema di unicità.
Le due coppie della colonna di destra hanno la forma di un separatore. Se nel teorema di Pitagora si passa dal quadrato al cubo o oltre, per l’ultimo teorema di Fermat le soluzioni spariscono. Il teorema di Dirichlet dice che una progressione aritmetica contiene infiniti numeri primi, ma non che tutti i suoi termini siano primi; il teorema di Green-Tao risponde che progressioni con tutti i termini primi possono essere lunghe quanto si vuole, mantenendo l’ipotesi che non continuano all’infinito.
Cronologia
Molti teoremi su curvatura e integrali risalgono al XIX secolo, e molti di quelli su simmetria e mondo quantistico al XX. Il più recente, il teorema di Green-Tao, è stato annunciato nel 2004.
Teoremi famosi che non ho ancora usato
Dei 38, cinque non sono ancora nominati nel testo principale di nessuno dei miei articoli: l’identità di Eulero, il teorema della curva di Jordan, il teorema CPT, il teorema di Dirichlet sulle progressioni aritmetiche e il teorema di Green-Tao. Ciascuno mostra chiaramente che cosa si rompe senza le sue ipotesi; li tengo come semi per articoli futuri.
Su questo articolo
Questo articolo non sostiene alcun teorema nuovo. Ho abbreviato gli enunciati per renderli più leggibili; la forma esatta si trova nelle fonti originali o nei manuali. Nomi e anni sono stati verificati su enciclopedie e sui riferimenti degli articoli originali. Il numero dei miei articoli è stato contato a macchina sul testo principale di 1.097 articoli, togliendo dopo la lettura le menzioni di un altro teorema con lo stesso nome. Il teorema di unicità viene dai miei articoli, e tutti i miei articoli sono preprint non sottoposti a revisione paritaria (le pagine sono in giapponese, con i PDF degli articoli in giapponese e in inglese).
Gli articoli precedenti «Una mappa delle leggi dell’inverso del quadrato» e «Sommate i punti di un foglio a quadretti e il risultato dipende dalla forma» sono scritti con lo stesso righello: che cosa bisogna cambiare perché una cosa ne diventi un’altra?