Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文488 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/488 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22760000）。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月15日 20:35 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi488,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Solve the Fall Time Backwards for the Curve and Only One Remains},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/488},
  doi = {10.5281/zenodo.22760000},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969418・969432・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 16:53（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

サイクロイドが等時なのは、その曲線の幸運な性質だと思われている。本稿が示すのは、向きを逆にすると等時性が曲線を一意に決めることである。$T$ が $h$ に依らないという要求だけから $f'(y)\propto 1/\sqrt{y}$ が出る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、サイクロイドでは出発角 $0.2$ から $2.5$ まで落下時間が $1.003039$ から $1.002780$ 秒に収まる。閉じた式 $\pi\sqrt{a/g}=1.003204646$ 秒に合う（第2節）。

第二に、対照の円弧では $1.338137$ 秒 対 $0.363064$ 秒と $3.6857$ 倍動く。ばらつきは $0.000258$ 対 $2.685675$ である（第2節）。

第三に、アーベル変換の数値が閉じた式に相対差 $6.763\times10^{-4}$ で一致する（第3節）。

第四に、一般の曲線では $T\propto\sqrt{h}$ で、$h$ を $4$ 倍にすると $T$ が $\mathbf{2.000000}$ 倍になる（第3節）。

第五に、これが本稿の芯である。$f'(y)=1/\sqrt{y}$ と置くと $T(0.5)=T(1)=T(2)=\mathbf{0.708762}$、幅 $\mathbf{0.000\times10^{0}}$ になる（第4節）。

第六に、分離子は「曲線から時間を出すか、時間から曲線を出すか」である（第4節）。

キーワード：等時曲線、サイクロイド、アーベルの積分方程式、逆問題、振り子時計

Abstract

The isochronism of the cycloid is taken to be a lucky property of that curve.This paper shows that reversing the direction makes isochronism fix the curve uniquely、requiring $T$ to be independent of $h$ alone yields $f'(y)\propto 1/\sqrt{y}$.No new theorem or law is claimed.

First, on the cycloid, starting angles from $0.2$ to $2.5$ give fall times between $1.003039$ and $1.002780$ seconds、matching the closed form $\pi\sqrt{a/g}=1.003204646$ seconds (Section 2).

Second, the circular-arc control moves from $1.338137$ to $0.363064$ seconds, a factor of $3.6857$、a spread of $0.000258$ against $2.685675$ (Section 2).

Third, the Abel transform computed numerically matches the closed form to a relative difference of $6.763\times10^{-4}$ (Section 3).

Fourth, for a general curve $T\propto\sqrt{h}$, and quadrupling $h$ multiplies $T$ by $\mathbf{2.000000}$ (Section 3).

Fifth, this is the core of the paper.Setting $f'(y)=1/\sqrt{y}$ gives $T(0.5)=T(1)=T(2)=\mathbf{0.708762}$, a spread of $\mathbf{0.000\times10^{0}}$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether the time is derived from the curve or the curve from the time (Section 4).

Keywords: tautochrone, cycloid, Abel integral equation, inverse problem, pendulum clock

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/488/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/488 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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