Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文190 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/190 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22106182）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文190】「稀」は、対数の目盛りで測る

@misc{yamagishi2026yoi190,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Rare” Is Measured on a Logarithmic Scale},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/190},
  doi = {10.5281/zenodo.22106182},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

確率が桁で落ちていくとき、それを「何倍か」で語ると意味を失う。本稿は、稀な事象を測る正しい目盛りが対数を $n$ で割ったものであることを、厳密な組合せ論の値と突き合わせて示す。新しい数学定理は主張しない。

第一に、中心極限定理は裾では道具違いである。公平な硬貨で平均が $0.75$ に達する確率を厳密値と正規近似で比べると、比は $1.63$、$1.42$、$1.11$、$0.690$、$0.271$ と$1$ を横切って落ち続ける（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。確率そのものは $5.1\times10^{-20}$ まで潰れるのに、$-\log(\text{確率})/n$ は $0.1939$、$0.1508$、$0.1346$ と一つの数へ歩いて行く。$n$ が倍になるたび隔たりがほぼ半分になる（第3節）。

第三に、その行き先は相対エントロピーである。目標を $3/5$、$2/3$、$3/4$、$9/10$ と変えても、$n=800$ での値が相対エントロピーに $0.004$ 以内で並ぶ（第4節）。

第四に、柵は「一つの大きな跳び」である。稀な大きい和を条件づけると、指数分布では最大項の割合が $0.0519$ から $0.0513$ と動かないのに、パレート分布では $0.1404$ から $\mathbf{0.9180}$ へ跳ね上がる（第5節）。

第五に、語の衝突を一つ記録する。本体系の論文42 に現れる「大偏差」は最大偏差という数値検算の語であり、本稿の確率論の用語とは無関係である（第6節）。

Abstract

When a probability falls through orders of magnitude, saying how many times larger one thing is than another stops meaning anything. This paper shows, against exact combinatorial values, that the right scale for a rare event is the logarithm divided by $n$. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the central limit theorem is the wrong instrument in the tail. For a fair coin reaching a mean of $0.75$, the ratio of the exact probability to the gaussian approximation runs $1.63$, $1.42$, $1.11$, $0.690$, $0.271$、crossing $1$ and continuing to fall (Section 2).

Second, and this is the core. The probability itself collapses to $5.1\times10^{-20}$, while $-\log(\text{probability})/n$ walks quietly to a single number: $0.1939$, $0.1508$, $0.1346$、with the gap roughly halving each time $n$ doubles (Section 3).

Third, the number it walks to is a relative entropy. Changing the target to $3/5$, $2/3$, $3/4$ and $9/10$, the value at $n=800$ matches the relative entropy to within $0.004$ (Section 4).

Fourth, the fence is the single big jump. Conditioning on a rare large sum, the share carried by the largest term does not move for the exponential law, going from $0.0519$ to $0.0513$, while for a Pareto law it leaps from $0.1404$ to $\mathbf{0.9180}$ (Section 5).

Fifth,one collision of words is recorded. The phrase appearing in this corpus’s Paper 42 means the largest discrepancy in a numerical check and has nothing to do with the theory named here (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/190/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/190 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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