Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文642 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/642 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22805604）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文642】フェルマーの最終定理への道は道具で範囲が違い、降下とクンマーは 92 個の指数に届かない

@misc{yamagishi2026yoi642,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Roads to Fermat's Last Theorem Reach Different Exponents, and Descent and Kummer Together Miss 92 Exponents up to 1000},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/642},
  doi = {10.5281/zenodo.22805604},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、5 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$n\ge3$ のとき、$x^n+y^n=z^n$ に互いに素な正の整数の解は無い（フェルマーの最終定理。ワイルズが $1995$ 年に証明した）。本稿は証明をせず、この「解が無い」に届く道を並べ、それぞれがどの指数まで届くかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、無限降下の道は $n=4$ に届く。$x^4+y^4=z^2$ の解は $3000$ まで $1$ つも無く、同じ探し方で $x^2+y^2=z^2$ の互いに素な解は $534$ 個見つかった。指数が $4$ で割り切れれば、この道で済む（第3節）。

第二に、クンマーの道は正則な素数に届く。素数 $p$ が正則（ベルヌーイ数 $B_2,\ldots,B_{p-3}$ の分子を $p$ が割らない）なら、指数 $p$ で解は無い。$3$ 以上 $1000$ 未満の素数 $167$ 個のうち正則なのは $103$ 個（割合 $0.616766$）で、$100$ 未満で正則でないのは $37$・$59$・$67$ だけだった（第4節）。

第三に、これが本稿の芯である。二つの道を合わせても、届かない指数が残る。$4$ で割り切れず、正則な奇素数も因数に持たない指数は、$1000$ 以下に $\mathbf{92}$ 個あり、最小は $37$ だった。道具ごとに届く指数の範囲が違い、全部に届いたのはワイルズの道だけである（第5節）。

第四に、ABC 予想からの道は大きな指数に届く（条件付き）、反例があれば、その組の質 $\log z^n/\log\mathrm{rad}(xyz)$ は必ず $n/3$ を超える。$n\ge5$ なら $5/3$ を超え、論文641 で確かめた知られた最高 $1.629912$ を上回る。$c<10^6$ の $1268$ 組に $q>5/3$ は $1$ つも無かった。一方 $n=3$・$4$ の下限 $1$・$4/3$ を超える組はある（第6節）。

第五に、多項式の世界では一行で済み、近い組は解ではない。係数の小さい多項式の総当たりで、$n=2$ は $20$ 組見つかり、$n=3$・$4$ は $0$ だった（メイソン＝ストザースの帰結）。整数では $9^3+10^3=12^3+1$ のように $1$ だけずれる組が $2000$ までに $18$ 組あるが、ぴったりの組は無い（第2節・第7節）。

キーワード：フェルマーの最終定理、無限降下法、正則素数、ベルヌーイ数、クンマー

Abstract

For $n\ge3$, $x^n+y^n=z^n$ has no solution in coprime positive integers (Fermat’s Last Theorem, proved by Wiles in $1995$).This paper proves nothing; it sets out the roads that reach this “no solution” and counts which exponents each reaches.No new theorem or law is claimed.

First, the road of infinite descent reaches $n=4$、$x^4+y^4=z^2$ has no solution up to $3000$, while the same search found $534$ coprime solutions of $x^2+y^2=z^2$. If the exponent is divisible by $4$, this road suffices (Section 3).

Second, Kummer’s road reaches the regular primes、if a prime $p$ is regular ($p$ divides none of the numerators of the Bernoulli numbers $B_2,\ldots,B_{p-3}$), there is no solution with exponent $p$. Of the $167$ primes from $3$ to below $1000$, $103$ are regular (a share of $0.616766$), and the only irregular ones below $100$ are $37$, $59$ and $67$ (Section 4).

Third, and this is the core.Even together, the two roads leave exponents unreached、exponents not divisible by $4$ and with no regular odd prime factor number $\mathbf{92}$ up to $1000$, the smallest being $37$. Each tool reaches a different range of exponents, and only Wiles’s road reached them all (Section 5).

Fourth, the road from the ABC conjecture reaches large exponents (conditionally)、a counterexample would have quality $\log z^n/\log\mathrm{rad}(xyz)$ above $n/3$. For $n\ge5$ that exceeds $5/3$, above the known highest, $1.629912$, checked in Paper 641. None of the $1268$ triples with $c<10^6$ has $q>5/3$. Triples exceeding the lower bounds $1$ and $4/3$ for $n=3$ and $4$, however, do exist (Section 6).

Fifth, in the world of polynomials it takes one line, and near misses are not solutions、an exhaustive search over polynomials with small coefficients found $20$ pairs for $n=2$ and none for $n=3$ or $4$ (a consequence of Mason–Stothers). Among integers there are $18$ triples up to $2000$ that miss by one, such as $9^3+10^3=12^3+1$, but none that match exactly (Sections 2 and 7).

Keywords: Fermat’s Last Theorem, infinite descent, regular primes, Bernoulli numbers, Kummer

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/642/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/642 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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