Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21403186）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1】球対称密度分布における n = 2 の唯一性定理

@misc{yamagishi2026yoi1,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Uniqueness Theorem of n = 2 for Spherically Symmetric Density Distributions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1},
  doi = {10.5281/zenodo.21403186},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、10 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969380・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:12（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

3次元ユークリッド空間 $\mathbb{R}^3$ の球対称べき型密度分布 $\rho(r) = r^{-n}$（$n \in \mathbb{R}$）について、球殻1枚ぶんの質量の増え方 $dm/dr = 4\pi r^{2-n}$ が半径 $r$ によらず一定になるのは、$n = 2$ のときに限られることを証明する（定理1）。証明は、半径 $1$ と半径 $2$ での値をくらべるだけで足りる。

次に、同じ指数 $2$ が現れる四つの場所を並べる。ガウスの流束保存とラプラス方程式の基本解では、球の表面積 $4\pi r^2$ の $r^2$ が、単位面積あたりの流束と場の強さを $1/r^2$ にする。定理1と同じ $r^2$ である。宇宙OSの見方では、画面の画素数が $4\pi r^2$ で増えるので、画素あたりのデータ密度が $1/r^2$ になる。ベルトランの定理（1873）は、有界な軌道がすべて閉じる中心力を、逆二乗の力とばねの力の二つに絞る。こちらは軌道が閉じるかどうかで力を選ぶ力学の定理であり、面積の広がりとは別の選び方が、力の指数 $2$ で出会っている。

さらに $n = 2$ のとき、単位球の中の質量は $r^2$ と $1/r^2$ が打ち消し合って $m = 4\pi$、すなわち全立体角に一致する。同じ積分を一般の $n$ に広げると $m(n) = 4\pi/(3-n)$ となり、$m = 4\pi\cdot S$ の $S = 1/(3-n)$ を「$4\pi$ の重なり枚数」と読むと、$2\pi,\,4\pi,\,8\pi,\,16\pi$ と進むモジュール階段が現れる。

Abstract

For a spherically symmetric power-law density distribution $\rho(r) = r^{-n}$ ($n \in \mathbb{R}$) in 3D Euclidean space $\mathbb{R}^3$, we prove that the mass added per spherical shell, $dm/dr = 4\pi r^{2-n}$, is independent of the radius $r$ if and only if $n = 2$ (Theorem 1). The proof needs nothing more than comparing the values at radius $1$ and radius $2$.

We then set side by side four places where the same exponent $2$ appears. In Gauss’s flux conservation and in the fundamental solution of the Laplace equation, the $r^2$ of the spherical surface area $4\pi r^2$ makes the flux per unit area and the field strength fall off as $1/r^2$、the same $r^2$ as in Theorem 1. In the Universe OS view, the pixel count of a screen grows as $4\pi r^2$, so the data density per pixel falls off as $1/r^2$. Bertrand’s theorem (1873) narrows the central forces for which every bounded orbit closes down to two: the inverse-square force and the spring force. This is a theorem of mechanics that selects forces by whether orbits close, and here a selection different from the spreading of area meets the others at the force exponent $2$.

Furthermore, when $n = 2$ the mass inside the unit ball is $m = 4\pi$, the total solid angle, because $r^2$ and $1/r^2$ cancel. Extending the same integral to general $n$ gives $m(n) = 4\pi/(3-n)$; reading $S = 1/(3-n)$ in $m = 4\pi\cdot S$ as “the number of stacked sheets of $4\pi$” reveals a module staircase running through $2\pi,\,4\pi,\,8\pi,\,16\pi$.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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