Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文110 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/110 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21837476）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文110】リッチ・フローはくりこみ群フローである

@misc{yamagishi2026yoi110,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Ricci Flow Is a Renormalization Group Flow},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/110},
  doi = {10.5281/zenodo.21837476},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、10 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

本体系には、二つの系譜が流れている。幾何の王道（リーマン→…→リッチ・フロー／ペレルマン、論文91・103）と、解析・場の理論の王道（ループ積分の $1/16\pi^2$・くりこみ群、論文109）。本稿は、この二つが比喩ではなく、証明された一本の等式で握手することを、第2層の橋のセンサスとして記録する。要石はフリーダンの定理（1980）、2次元非線形シグマ模型の標的計量 $g_{ij}$ のくりこみ群（RG）ベータ関数が、1ループでリッチ・テンソルそのものになる：$\beta^{g}_{ij}=\alpha’ R_{ij}+O(\alpha’^2)$。ゆえに計量のRGフローは $\partial_t g_{ij}=-\alpha’ R_{ij}$、これはリッチ・フロー $\partial_\tau g_{ij}=-2R_{ij}$ そのもの（定数と時間の向きを除いて）。固定点 $\beta=0$ はリッチ平坦＝真空アインシュタイン方程式（弦理論が重力を“導出”する筋）。共通の背骨は「無限を手なずける」。幾何側では曲率の発散（特異点）を、場の理論側では紫外発散を、どちらもスケール依存の流れで御する。本稿は発見を三層のラベルで選り分ける：金（証明済み）＝リッチ・フロー＝RGフロー（フリーダン）／銀（本物の共鳴・未決着）＝ペレルマンの単調エントロピー $\leftrightarrow$ ザモロドチコフのC定理（どちらも流れに“矢”を与える）／金メッキ（韻）＝手術 $\approx$ くりこみ（テーマは同じ「無限を手なずける」だが、機械が違う：位相的切除 vs 発散の吸収）。等式は1ループ（$\alpha’$ 最低次）で厳密であり、高次では高階微分補正が入る。

Abstract

Two lineages have run through this corpus、the royal road of geometry (Riemann → … → Ricci flow / Perelman, Papers 91 and 103) and the royal road of analysis and field theory (the $1/16\pi^2$ of loop integrals, the renormalization group, Paper 109). This paper records, as a Layer-2 census of a bridge, that these two shake hands not by metaphor but by one proven equation. The keystone is Friedan’s theorem (1980): the renormalization-group (RG) beta function of the target metric $g_{ij}$ of a two-dimensional nonlinear sigma model equals, at one loop, the Ricci tensor itself: $\beta^{g}_{ij}=\alpha’ R_{ij}+O(\alpha’^2)$. Hence the RG flow of the metric, $\partial_t g_{ij}=-\alpha’ R_{ij}$, is Ricci flow $\partial_\tau g_{ij}=-2R_{ij}$ itself (up to a constant and the direction of flow). The fixed point $\beta=0$ is Ricci-flatness = the vacuum Einstein equation (the route by which string theory “derives” gravity). The shared backbone is “taming the infinite”、on the geometry side the blow-up of curvature (singularities), on the field-theory side the ultraviolet divergences, both governed by a scale-dependent flow. The paper sorts the findings into three tiers: gold (proven) = Ricci flow = RG flow (Friedan); silver (a real resonance, unsettled) = Perelman’s monotone entropy $\leftrightarrow$ Zamolodchikov’s c-theorem (both give the flow an “arrow”); gold-plated (a rhyme) = surgery $\approx$ renormalization (the theme is the same, the machinery differs: topological excision vs absorbing divergences). The equation is exact at one loop ($\alpha’$ leading order); higher orders bring higher-derivative corrections.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/110/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/110 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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